14.5 Relation entre la représentation d’état et la fonction de transfert d’un système
317
Figure 14.8 Représentation compagne commandable.
Les équations d’état se déduisent naturellement de cette représentation :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
˙
x 1 = x 2
˙
x 2 = x 3
. . .
˙
x n−1 = x n
˙
x n = −a 0 x 1 − a 1 x 2 − · · · − a n−1 x n + e(t)
s(t) = b 0 x 1 + b 1 x 2 + · · · + a m x m+1
d’où :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
˙
x(t) =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
0
1
0 · · ·
0
. . .
0
1
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
0
0
0
· · · 0
1
−a 0 −a 1 · · · · · · −a n−1
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
x(t) +
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
0
0
. . .
0
1
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
e(t)
s(t) =
b 0 · · · b m 0 · · · 0
x(t)
Cette forme de représentation est appelée forme compagne car la matrice de commande du système contient,
en une seule ligne, l’ensemble des coefficients du dénominateur de la fonction de transfert. Elle est dite
commandable car, bien que seule la variable x n soit directement affectée par le signal d’entrée, toutes les
variables d’état s’en trouvent influencées par intégrations successives. Si un système est complètement
commandable, alors on peut le mettre sous forme compagne commandable.