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14 • Représentation d’état des systèmes à temps continu
Choisissons a n = 1 (ce qui revient à diviser le numérateur et le dénominateur par a n ) et divisons le numérateur et le dénominateur par p
n . On obtient :
G( p) =
b m p
m−n + b m−1 p
m−n−1 + · · · + b 1 p
−n+1 + b 0 p
−n
1 + a n−1 p −1 + · · · + a 1 p −n+1 + a 0 p −n
=
N( p)
D( p)
On peut alors écrire :
S( p) =
E( p)
D( p)
× N( p) = Y( p)N( p)
soit :
Y( p) =
E( p)
1 + a n−1 p −1 + · · · + a 1 p −n+1 + a 0 p −n
Y( p)
1 + a n−1 p
−1 + · · · + a 1 p
−n+1 + a 0 p
−n
= E( p)
Y( p) = E( p) −
a n−1
1
p
+ · · · + a 1
1
p
n−1
+ a 0
1
p
n
Y( p)
Si on pose :
X n ( p) =
Y( p)
p
, X n−1 ( p) =
Y( p)
p 2 , . . . , X 1 ( p) =
Y( p)
p n ,
on obtient :
Y( p) = E( p) −
a n−1 X n ( p) + · · · + a 1 X 2 ( p) + a 0 X 1 ( p)
On peut alors choisir les x i comme composantes du vecteur d’état et proposer la représentation de la figure 14.7.
Figure 14.7 Représentation d’état partielle du système.
Cette représentation est bien évidemment incomplète puisqu’il y manque la reconstruction du signal de
sortie.
On a :
S( p) =
b m p
m−n + b m−1 p
m−n−1 + · · · + b 1 p
−n+1 + b 0 p
−n
Y( p)
d’où :
S( p) = b m X m+1 ( p) + b m−1 X m ( p) + · · · + b 1 X 2 ( p) + b 0 X 1 ( p)
Nous pouvons à présent compléter la représentation (figure 14.8).