14.5 Relation entre la représentation d’état et la fonction de transfert d’un système
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La figure 14.5 propose une représentation d’état cohérente avec cette forme en cascade de la fonction
de transfert.
Figure 14.5 Représentation d’état du système sous forme série.
Dans ce cas, on a :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
˙
x 1 = p 1 x 1 + e
˙
x 2 = p 2 x 2 + x 1
. . .
˙
x n = p n x n + x n−1
s(t) = ax n
⇒
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
˙
x(t) =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
p 1 0 · · · 0
1 p 2
0
0
. . .
. . .
. . . 0
0 · · · 1 p n
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
x(t) +
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
1
0
. . .
0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
e(t)
s(t) =
0 · · · 0 a
x(t)
Remarque : Une fonction de transfert G( p) peut possèder des pôles complexes conjugués, autrement
dit il peut exister des termes non décomposables du type :
G( p) =
K
p
2
v
2
n
+
2jp
v n
+ 1
Dans ce cas, on utilise la représentation d’état proposée sur la figure 14.6.
Figure 14.6 Représentation d’état d’un bloc du second ordre non décomposable.
c) Représentation compagne commandable
On suppose ici que la fonction de transfert n’est pas factorisée.
Soit :
G( p) =
b m p
m + b m−1 p
m−1 + · · · + b 1 p + b 0
a n p n + a n−1 p n−1 + · · · + a 1 p + a 0
avec m < n