14.5 Relation entre la représentation d’état et la fonction de transfert d’un système
313
Remarque : Le vecteur d’état subit bien évidemment le même changement de base : x(t) = [T] x(t).
Dans cette matrice
A
apparaît une sous-matrice r × r
A 11
de rang r qui correspond à un soussystème qui lui, est complètement observable. Dans le vecteur
C
apparaît un sous-vecteur possédant r
composantes. On dit que le sous système défini par la paire
A 11
,
C 1
est un sous-système complètement
observable du système défini par la paire [A], (C). Les r premières variables d’état sont les variables d’état
observables du système. Les autres variables d’état ne sont pas observables.
Remarque : Nous reparlerons de la notion d’observabilité dans le chapitre 16 consacré à la commande
par retour d’état.
14.5 RELATION ENTRE LA REPRÉSENTATION D’ÉTAT ET LA FONCTION
DE TRANSFERT D’UN SYSTÈME
14.5.1 Représentation d’état à partir de la fonction de transfert
Comme nous l’avons déjà mentionné, la représentation d’état d’un système n’est pas unique. Dans les
lignes qui suivent, nous présentons plusieurs types de représentation d’état que l’on peut obtenir à partir
d’une fonction de transfert G( p). Le choix de la représentation peut dépendre de la forme disponible de la
fonction de transfert ou du type d’étude que l’on souhaite réaliser à partir du modèle. Rappelons encore que
la représentation d’état d’un système n’est pas unique et que les propriétés du système ne sont en aucun cas
liées à la forme choisie.
a) Représentation modale
Ce type de représentation, encore appelée représentation parallèle, convient particulièrement bien à la représentation d’un système dont la fonction de transfert est placée sous la forme d’une somme. Soit G( p) sa
fonction de transfert :
G( p) =
S( p)
E( p)
=
a 1
p − p 1
+
a 2
p − p 2
+ · · · +
a n
p − p n
Remarque : On dit alors que la fonction de transfert est strcitement propre.
Cette écriture fait apparaître la somme de n fonctions de transfert et peut être matérialisée par le schéma
de la figure 14.3 en faisant apparaître n blocs élémentaires.
En appelant X i ( p) la sortie du i
ème bloc élémentaire, on a :
X i ( p) =
a i
p − p i
E( p) ⇒ ˙
x i = p i x i + e
et :
s(t) = a 1 x 1 + a 2 x 2 + · · · + a n x n
soit :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
˙
x(t) =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
p 1 0 · · · 0
0 p 2
0
0
. . .
. . .
. . . 0
0 · · · 0 p n
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
x(t) +
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
1
1
. . .
1
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
e(t)
s(t) =
a 1 a 2 · · · a n
x(t)
313
Remarque : Le vecteur d’état subit bien évidemment le même changement de base : x(t) = [T] x(t).
Dans cette matrice
A
apparaît une sous-matrice r × r
A 11
de rang r qui correspond à un soussystème qui lui, est complètement observable. Dans le vecteur
C
apparaît un sous-vecteur possédant r
composantes. On dit que le sous système défini par la paire
A 11
,
C 1
est un sous-système complètement
observable du système défini par la paire [A], (C). Les r premières variables d’état sont les variables d’état
observables du système. Les autres variables d’état ne sont pas observables.
Remarque : Nous reparlerons de la notion d’observabilité dans le chapitre 16 consacré à la commande
par retour d’état.
14.5 RELATION ENTRE LA REPRÉSENTATION D’ÉTAT ET LA FONCTION
DE TRANSFERT D’UN SYSTÈME
14.5.1 Représentation d’état à partir de la fonction de transfert
Comme nous l’avons déjà mentionné, la représentation d’état d’un système n’est pas unique. Dans les
lignes qui suivent, nous présentons plusieurs types de représentation d’état que l’on peut obtenir à partir
d’une fonction de transfert G( p). Le choix de la représentation peut dépendre de la forme disponible de la
fonction de transfert ou du type d’étude que l’on souhaite réaliser à partir du modèle. Rappelons encore que
la représentation d’état d’un système n’est pas unique et que les propriétés du système ne sont en aucun cas
liées à la forme choisie.
a) Représentation modale
Ce type de représentation, encore appelée représentation parallèle, convient particulièrement bien à la représentation d’un système dont la fonction de transfert est placée sous la forme d’une somme. Soit G( p) sa
fonction de transfert :
G( p) =
S( p)
E( p)
=
a 1
p − p 1
+
a 2
p − p 2
+ · · · +
a n
p − p n
Remarque : On dit alors que la fonction de transfert est strcitement propre.
Cette écriture fait apparaître la somme de n fonctions de transfert et peut être matérialisée par le schéma
de la figure 14.3 en faisant apparaître n blocs élémentaires.
En appelant X i ( p) la sortie du i
ème bloc élémentaire, on a :
X i ( p) =
a i
p − p i
E( p) ⇒ ˙
x i = p i x i + e
et :
s(t) = a 1 x 1 + a 2 x 2 + · · · + a n x n
soit :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
˙
x(t) =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
p 1 0 · · · 0
0 p 2
0
0
. . .
. . .
. . . 0
0 · · · 0 p n
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
x(t) +
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
1
1
. . .
1
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
e(t)
s(t) =
a 1 a 2 · · · a n
x(t)