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14 • Représentation d’état des systèmes à temps continu
14.4.1 Définition
Un système est dit observable à un instant t 1 , si la connaissance du signal d’entrée et du signal de sortie sur
un intervalle de temps [t 1 , t 2 ] permet de calculer l’état du système à l’instant t 1 .
Si un système est observable quel que soit l’instant t 1 , il est dit complètement observable.
14.4.2 Critère d’observabilité
On considère un système défini par :
˙
x(t) = [A] x(t) + (B) e(t)
s(t) = (C) x(t) + d·e(t)
Ce système est complètement observable si et seulement si les vecteurs lignes (C) , (C) [A] ,
(C) [A]
2 , . . . , (C) [A]
n−1 sont linéairement indépendants.
Cet énoncé peut se traduire également de la manière suivante : on définit la matrice d’observabilité par
la matrice formée des n vecteurs lignes (C) , (C) [A] , (C) [A]
2 , · · · , (C) [A]
n−1 :
O
([A](C)) =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
(C)
(C) [A]
(C) [A]
2
. . .
(C) [A]
n−1
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
La paire [A] , (C) est complètement observable si et seulement si la matrice d’observabilité est régulière,
autrement dit si son déterminant n’est pas nul.
14.4.3 Cas des systèmes non observables
Si la matrice d’observabilité est de rang r < n, le système n’est pas complètement observable. On montre
que dans ce cas, il est possible de trouver une matrice de changement de base [T] telle que :
A
= [T] [A] [T]
−1 ,
C
= (C) [T]
avec :
A
=
⎡
⎣
A 11
0
A 21
A 22
⎤
⎦ et
C
=
C 1
0
On a alors :
⎧
⎨
⎩
˙
x(t) =
A
x(t) +
B
e(t)
s(t) =
C
x(t)