14.4 Observabilité de l’état d’un système
311
et :
[W]
−1 =
269 110
110 46
On a donc :
e(t) =
1 −2
e
−2(0,5−t)
0
0
e
−(0,5−t)
269 110
110 46
2
−3
= 208e
−2(0,5−t)
− 164e
−(0,5−t)
On peut sans peine vérifier que ce signal de commande amène bien le système dans l’état désiré au bout
d’un temps t = 0,5 s :
x(0,5) =
0,5
0
e
−2(0,5−t)
0
0
e
−(0,5−t)
1
−2
e(t)dt ≈
2
−3
14.3.5 Cas des systèmes non commandables
Si la matrice de commandabilité est de rang r < n, le système n’est pas complètement commandable. On
montre que dans ce cas, il est possible de trouver une matrice de changement de base [T] telle que :
A
= [T] [A] [T]
−1 et
B
= [T]
−1 (B)
avec :
A
=
⎡
⎣
A 11
A 12
0
A 22
⎤
⎦ et
B
=
⎛
⎝
B 1
0
⎞
⎠
On a alors :
⎧
⎨
⎩
˙
x(t) =
A
x(t) +
B
e(t)
s(t) =
C
x(t)
Remarque : Le vecteur d’état subit bien évidemment le même changement de base : x(t) = [T] x(t).
Dans cette matrice
A
, apparaît une sous-matrice r × r
A 11
de rang r qui correspond à un soussystème qui lui, est complètement commandable. Dans le vecteur
B
apparaît un sous-vecteur possédant r
composantes. On dit que le sous système défini par la paire
A 11
,
B 1
est un sous-système complètement
commandable du système défini par la paire [A], (B). Les r valeurs propres de la matrice
A 11
qui sont
également valeurs propres de la matrice [A] correspondent aux modes commandables du système. Les
autres valeurs propres correspondent aux modes non commandables.
14.4 OBSERVABILITÉ DE L’ÉTAT D’UN SYSTÈME
Dans la seconde partie de cet ouvrage, nous avons vu combien il était important, notamment pour la commande des systèmes en boucle fermée, d’être capable de mesurer un signal de sortie. En représentation
d’état, il nous importe d’être capable de connaître à chaque instant, l’état du système, autrement dit de pouvoir déterminer le vecteur d’état x(t). Certaines variables d’état sont très faciles à mesurer. Un capteur placé
au bon endroit, à l’intérieur du système, peut nous donner accès à l’information recherchée. Dans ce cas, on
dit que la variable d’état considérée est mesurable. Dans d’autres cas, cette investigation directe n’est pas
possible. La grandeur est alors dite non mesurable.
En revanche, elle peut, tout en étant non mesurable, influencer la sortie s(t) du système. Il est alors possible, à partir de la mesure de la sortie, de déduire la grandeur considérée. On dit que celle-ci est observable.
311
et :
[W]
−1 =
269 110
110 46
On a donc :
e(t) =
1 −2
e
−2(0,5−t)
0
0
e
−(0,5−t)
269 110
110 46
2
−3
= 208e
−2(0,5−t)
− 164e
−(0,5−t)
On peut sans peine vérifier que ce signal de commande amène bien le système dans l’état désiré au bout
d’un temps t = 0,5 s :
x(0,5) =
0,5
0
e
−2(0,5−t)
0
0
e
−(0,5−t)
1
−2
e(t)dt ≈
2
−3
14.3.5 Cas des systèmes non commandables
Si la matrice de commandabilité est de rang r < n, le système n’est pas complètement commandable. On
montre que dans ce cas, il est possible de trouver une matrice de changement de base [T] telle que :
A
= [T] [A] [T]
−1 et
B
= [T]
−1 (B)
avec :
A
=
⎡
⎣
A 11
A 12
0
A 22
⎤
⎦ et
B
=
⎛
⎝
B 1
0
⎞
⎠
On a alors :
⎧
⎨
⎩
˙
x(t) =
A
x(t) +
B
e(t)
s(t) =
C
x(t)
Remarque : Le vecteur d’état subit bien évidemment le même changement de base : x(t) = [T] x(t).
Dans cette matrice
A
, apparaît une sous-matrice r × r
A 11
de rang r qui correspond à un soussystème qui lui, est complètement commandable. Dans le vecteur
B
apparaît un sous-vecteur possédant r
composantes. On dit que le sous système défini par la paire
A 11
,
B 1
est un sous-système complètement
commandable du système défini par la paire [A], (B). Les r valeurs propres de la matrice
A 11
qui sont
également valeurs propres de la matrice [A] correspondent aux modes commandables du système. Les
autres valeurs propres correspondent aux modes non commandables.
14.4 OBSERVABILITÉ DE L’ÉTAT D’UN SYSTÈME
Dans la seconde partie de cet ouvrage, nous avons vu combien il était important, notamment pour la commande des systèmes en boucle fermée, d’être capable de mesurer un signal de sortie. En représentation
d’état, il nous importe d’être capable de connaître à chaque instant, l’état du système, autrement dit de pouvoir déterminer le vecteur d’état x(t). Certaines variables d’état sont très faciles à mesurer. Un capteur placé
au bon endroit, à l’intérieur du système, peut nous donner accès à l’information recherchée. Dans ce cas, on
dit que la variable d’état considérée est mesurable. Dans d’autres cas, cette investigation directe n’est pas
possible. La grandeur est alors dite non mesurable.
En revanche, elle peut, tout en étant non mesurable, influencer la sortie s(t) du système. Il est alors possible, à partir de la mesure de la sortie, de déduire la grandeur considérée. On dit que celle-ci est observable.