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14 • Représentation d’état des systèmes à temps continu
On obtient :
0
t
e
[A]t (B) (B)
T e
[A]
T t (− dt) =
t
0
e
[A]t (B) (B)
T e
[A]
T t dt
d’où :
I =
x(t) − e
[A]t x(0)
[W] [W]
−1 = x(t) − e
[A]t x(0)
On a donc bien vérifié la solution de l’équation d’état :
x(t) − e
[A]t x(0) =
t
0
e
[A](t−t) (B) e(t) dt
c) Exemple
On souhaite amener le système défini par :
˙
x(t) = [A] x(t) + (B) e(t)
avec :
[A] =
−2
0
0 −1
et (B) =
1
−2
d’un état initial :
x(0) =
0
0
à l’état final :
x(t) =
2
−3
en t = 0,5 s
Comme [A] est une matrice diagonale, sa transposée lui est égale.
On a donc :
e
[A]t = e
[A]
T t =
e
−2t
0
0
e
−t
d’où :
[W] =
t
0
e
−2t
0
0
e
−t
1
−2
1 −2
e
−2t
0
0
e
−t
dt
Soit, tous calculs faits, par exemple avec Mathematica :
[W] =
⎡
⎢
⎣
−
1
4
e
−4t
− 1
2
3
e
−3t
− 1
2
3
e
−3t
− 1
−2
e
−2t
− 1
⎤
⎥
⎦
Par conséquent :
[W]
−1 =
1
det [W]
⎡
⎢
⎢
⎣
−2
e
−2t
−1
−
2
3
e
−3t
−1
−
2
3
e
−3t
−1
−
1
4
e
−4t
−1
⎤
⎥
⎥
⎦
Pour t = 0,5 s, on a :
det [W] =
0,216 −0,518
−0,518
1,264
= 0,0047