14.3 Commandabilité d’un système
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d’où :
[C] ([A](B)) =
1 2
−2 5
Cette matrice est bien de rang 2, étant donné que son déterminant n’est pas nul :
det [C] ([A](B)) =
1 2
−2 5
= 9
Le système est donc complètement commandable.
14.3.4 Calcul de la commande d’un système
a) Principe de la construction de Kalman
L’objectif consiste ici à calculer le signal de commande (ou d’entrée) du système, avec pour objectif de
l’amener de l’état initial x(0) à l’instant t = 0 à un état déterminé x(t) à un instant t quelconque. Si le
système est complètement commandable (ou accessible), le calcul de cette commande est possible :
On a :
x(t) = e
[A]t x(0) +
t
0
e
[A](t−t) (B) e(t) dt
ou encore :
x(t) − e
[A]t x(0) =
t
0
e
[A](t−t) (B) e(t) dt
Il s’agit donc de calculer l’expression de e(t) sur l’intervalle [0, t] pour atteindre cet objectif.
Kalman a montré que le signal de commande e(t) pouvait être construit à partir de l’expression suivante :
e(t) = (B)
T e
[A]
T (t−t) [W]
−1
x(t) − e
[A]t x(0)
La matrice [W] étant définie par :
[W] =
t
0
e
[A]t (B) (B)
T e
[A]
T t dt
b) Validation de la construction
Pour vérifier ce résultat, remplaçons e(t) par cette expression dans l’intégrale :
I =
t
0
e
[A](t−t) (B) e(t) dt
On obtient :
I =
t
0
e
[A](t−t) (B)
(B)
T e
[A]
T (t−t) [W]
−1
x(t) − e
[A]t x(0)
dt
soit :
I =
x(t) − e
[A]t x(0)
t
0
e
[A](t−t) (B) (B)
T e
[A]
T (t−t)
[W]
−1 dt
Arrêtons-nous un moment sur l’expression :
t
0
e
[A](t−t) (B) (B)
T e
[A]
T (t−t) dt
Effectuons le changement de variable : t − t → t.