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14 • Représentation d’état des systèmes à temps continu
Remarque : La notion d’accessibilité correspond beaucoup mieux à l’idée que nous nous faisons de la
commande d’un système et les deux définitions sont souvent confondues. On parle également parfois
de gouvernabilité.
Si la matrice de transition e
[A]t est régulière (autrement dit si son déterminant est non nul), les notions
d’accessibilité et de commandabilité sont équivalentes. On peut alors définir la commandabilité complète
comme suit :
Un système est complètement commandable s’il est possible, quel que soit l’intervalle [t 1 , t 2 ] et quelque
soit l’état x 2 , de déterminer un signal de commande e(t) sur [t 1 , t 2 ] qui amène le système de n’importe
quel état x(t 1 ) = x 1 vers l’état voulu x(t 2 ) = x 2 .
Remarque : La notion de commandabilité ne porte que sur l’état du système et non sur sa sortie. Par
conséquent, seule l’équation vectorielle ˙
x(t) = [A] x(t) + (B) e(t) est à considérer pour caractériser
la commandabilité d’un système. Pour cette raison, on dit parfois que c’est la paire [A] , (B) qui est
commandable.
14.3.2 Critère de Kalman
Il existe de nombreux critères de commandabilité ou de non-commandabilité. Le critère de Kalman est l’un
des plus couramment utilisés.
Un système est complètement accessible et complètement commandable si et seulement si les vecteurs
(B) , [A] (B) , [A]
2 (B) , . . . , [A]
n−1 (B) sont linéairement indépendants.
Cet énoncé peut se traduire également de la manière suivante : on définit la matrice de commandabilité
par la matrice formée des n vecteurs colonnes (B) , [A] (B) , [A]
2 (B) , . . . , [A]
n−1 (B) :
[C] ([A](B)) =
(B) [A] (B) [A]
2 (B) . . . [A]
n−1 (B)
La paire [A] , (B) est complètement commandable si et seulement si la matrice de commandabilitématrice
de commandabilité est régulière, autrement dit si son déterminant n’est pas nul.
14.3.3 Exemple
Reprenons l’exemple du système régi par les équations d’état suivantes :
˙
x(t) = [A] x(t) + (B) e(t)
avec :
[A] =
−2 −2
−1 −3
et (B) =
1
−2
La matrice de commandabilité est formée de deux vecteurs :
[C] ([A](B)) = [(B) [A] (B)]
Or :
[A] (B) =
−2 −2
−1 −3
1
−2
=
2
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14 • Représentation d’état des systèmes à temps continu
Remarque : La notion d’accessibilité correspond beaucoup mieux à l’idée que nous nous faisons de la
commande d’un système et les deux définitions sont souvent confondues. On parle également parfois
de gouvernabilité.
Si la matrice de transition e
[A]t est régulière (autrement dit si son déterminant est non nul), les notions
d’accessibilité et de commandabilité sont équivalentes. On peut alors définir la commandabilité complète
comme suit :
Un système est complètement commandable s’il est possible, quel que soit l’intervalle [t 1 , t 2 ] et quelque
soit l’état x 2 , de déterminer un signal de commande e(t) sur [t 1 , t 2 ] qui amène le système de n’importe
quel état x(t 1 ) = x 1 vers l’état voulu x(t 2 ) = x 2 .
Remarque : La notion de commandabilité ne porte que sur l’état du système et non sur sa sortie. Par
conséquent, seule l’équation vectorielle ˙
x(t) = [A] x(t) + (B) e(t) est à considérer pour caractériser
la commandabilité d’un système. Pour cette raison, on dit parfois que c’est la paire [A] , (B) qui est
commandable.
14.3.2 Critère de Kalman
Il existe de nombreux critères de commandabilité ou de non-commandabilité. Le critère de Kalman est l’un
des plus couramment utilisés.
Un système est complètement accessible et complètement commandable si et seulement si les vecteurs
(B) , [A] (B) , [A]
2 (B) , . . . , [A]
n−1 (B) sont linéairement indépendants.
Cet énoncé peut se traduire également de la manière suivante : on définit la matrice de commandabilité
par la matrice formée des n vecteurs colonnes (B) , [A] (B) , [A]
2 (B) , . . . , [A]
n−1 (B) :
[C] ([A](B)) =
(B) [A] (B) [A]
2 (B) . . . [A]
n−1 (B)
La paire [A] , (B) est complètement commandable si et seulement si la matrice de commandabilitématrice
de commandabilité est régulière, autrement dit si son déterminant n’est pas nul.
14.3.3 Exemple
Reprenons l’exemple du système régi par les équations d’état suivantes :
˙
x(t) = [A] x(t) + (B) e(t)
avec :
[A] =
−2 −2
−1 −3
et (B) =
1
−2
La matrice de commandabilité est formée de deux vecteurs :
[C] ([A](B)) = [(B) [A] (B)]
Or :
[A] (B) =
−2 −2
−1 −3
1
−2
=
2
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