14.3 Commandabilité d’un système
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On a donc :
x(t) = e
[A]t
0
0
+
t
0
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
⎡
⎢
⎢
⎣
2
3
e
−(t−t) +
1
3
e
−4(t−t)
−
2
3
e
−(t−t) +
2
3
e
−4(t−t)
−
1
3
e
−(t−t) +
1
3
e
−4(t−t)
1
3
e
−(t−t) +
2
3
e
−4(t−t)
⎤
⎥
⎥
⎦
1
−2
⎫
⎪ ⎪ ⎬
⎪ ⎪ ⎭
dt
x(t) =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
t
0
2
3
e
−(t−t) +
1
3
e
−4(t−t) +
4
3
e
−(t−t)
−
4
3
e
−4(t−t)
dt
t
0
−
1
3
e
−(t−t) +
1
3
e
−4(t−t)
−
2
3
e
−(t−t)
−
4
3
e
−4(t−t)
dt
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
soit :
x(t) =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
t
0
2 e
−(t−t)
− e
−4(t−t)
dt
t
0
− e
−(t−t)
− e
−4(t−t)
dt
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
Chacune des deux intégrales à calculer peut être évaluée par Mathematica. On écrit respectivement :
Integrate
2e
−(t−tau)
− e
−4(t−tau) , {tau, 0, t}
et Integrate
−e
−(t−tau)
− e
−4(t−tau) , {tau, 0, t}
Ce qui donne immédiatement le résultat :
x(t) =
⎛
⎜
⎝
1
4
7 + e
−4t
− 8e
−t
−
5
4
+
e
−4t
4
+ e
−t
⎞
⎟
⎠
14.3 COMMANDABILITÉ D’UN SYSTÈME
La problématique générale de l’automatique consiste à commander un système de manière à ce qu’il évolue,
depuis un état initial constaté, vers un état final déterminé. En représentation d’état, il s’agira de déterminer
le signal de commande e(t) entre deux instants donnés, t 1 et t 2 , pour amener le système de l’état x(t 1 ) vers
un état x(t 2 ) souhaité.
14.3.1 Définitions
a) Commandabilité vers 0
Un système est dit commandable à l’instant t 1 s’il est possible de déterminer un signal d’entrée e(t) sur
l’intervalle [t 1 , t 2 ] de manière à amener le système de l’état x(t 1 ) = x 1 vers l’état x(t 2 ) = 0.
Si un système est commandable quel que soit t 1 , il est dit complètement commandable.
b) Accessibilité
Un système est dit accessible à l’état x 2 s’il est possible de déterminer un signal d’entrée e(t) sur l’intervalle
[t 1 , t 2 ] de manière à amener le système d’un état x(t 1 ) = x 1 vers l’état x(t 2 ) = x 2 .
Si un système est accessible quel que soit x 2 , il est dit complètement accessible.