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14 • Représentation d’état des systèmes à temps continu
➤ Résolution à l’aide de Mathematica
La commande Eigenvalues
{{−2, −2} , {−1, −3}}
fournit immédiatement les valeurs propres de la matrice [A], soit
{−1, −4}
. La matrice
D
est donc connue.
La commande Eigenvectors
{{−2, −2} , {−1, −3}}
fournit les deux vecteurs propres sous la forme
{{−2,1} , {1,1}}. D’où : [T] =
−2 1
1 1
.
La commande Inverse
{{−2,1} , {1,1}}
donne l’expression de la matrice [T]
−1 , soit :
{{−1/3,1/3} , {1/3,2/3}}
.
Il reste enfin à effectuer le produit des trois matrices pour obtenir la matrice de transition :
{{−2,1} , {1,1}} ·
e
−t , 0
,
0, e
−4t
· {{−1/3,1/3} , {1/3,2/3}}
14.2.4 Calcul de l’état d’un système en fonction d’un signal
de commande
Nous avons déjà montré que :
x(t) = e
[A]t x(0) +
t
0
e
[A](t−t) (B) e(t) dt
La connaissance de la matrice de transition permet de calculer directement le vecteur d’état du système à
partir de cette expression. Il y a bien évidemment autant de calculs à effectuer qu’il y a de variables d’état.
Considérons par exemple le système régi par les équations d’état suivantes :
˙
x(t) = [A] x(t) + (B) e(t)
avec :
[A] =
−2 −2
−1 −3
et (B) =
1
−2
Supposons que ce système soit sollicité par un échelon unitaire, e(t) = 1, et que son état initial est défini
par :
x(0) =
0
0
La matrice de transition a été calculée au paragraphe précédent :
e
[A]t =
⎡
⎢
⎢
⎣
2
3
e
−t +
1
3
e
−4t
−
2
3
e
−t +
2
3
e
−4t
−
1
3
e
−t +
1
3
e
−4t
1
3
e
−t +
2
3
e
−4t
⎤
⎥
⎥
⎦