14.2 Résolution des équations d’état
303
Par conséquent :
e
[A]t = [T]
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
e
l1t
0 · · · 0
0 e
l2t
0
. . .
. . .
0
. . .
0
0
· · · 0 e
lnt
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
[T]
−1
Les fonctions e
l1t , e
l2t , . . . , e
lnt qui constituent la base de fonctions élémentaires du vecteur d’état, donc
des signaux internes du système, sont appelées les modes du système.
d) Méthode de Cayley-Hamilton
Cette méthode, qui repose sur la propriété d’une matrice d’être toujours solution de son équation caractéristique, présente l’avantage d’être relativement rapide pour des matrices d’ordres peu élevés et de mettre
en œuvre des calculs moins complexes, donc moins générateurs d’erreurs de calcul.
Considérons une matrice [A] et son équation caractéristique :
det (lI − [A]) = l
n + a n−1 l
n−1 + · · · + a 1 l + a 0 = 0.
On a toujours :
[A]
n + a n−1 [A]
n−1 + · · · + a 1 [A] + a 0 I = 0
Cette équation permet d’affirmer que pour toute matrice carrée d’ordre n possédant n valeurs propres distinctes, toute puissance de [A] supérieure ou égale à n peut s’exprimer en fonction d’une combinaison des
puissances de [A] strictement inférieures à n.
On peut donc écrire :
e
[A]t = f n−1 (t) [A]
n−1 + f n−2 (t) [A]
n−2 + · · · + f 1 (t) [A] + f 0 (t)I
La recherche des fonctions f i (t) ne pose aucune difficulté : les valeurs propres de la matrice [A] vérifiant
obligatoirement cette équation, on construit un système de n équations où les n fonctions f i (t) sont les
inconnues et la résolution de ce système permet de déterminer e
[A]t .
Soit :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
e
l1t = f n−1 (t)l
n−1
1
+ · · · + f 1 (t)l 1 + f 0 (t)
e
l2t = f n−1 (t)l
n−1
2
+ · · · + f 1 (t)l 2 + f 0 (t)
. . .
e
lnt = f n−1 (t)l
n−1
n
+ · · · + f 1 (t)l n + f 0 (t)
e) Utilisation de Mathematica
L’utilisation d’un logiciel de calcul formel comme Mathematica peut donner accès rapidement à l’expression de la matrice de transition. En effet, il permet d’obtenir instantanément les vecteurs propres, donc la
matrice modale et supporte la plupart des opérations matricielles.
Avec Mathematica, une matrice
a b
c d
doit être définie selon la syntaxe suivante :
{{a, b} , {c, d}}
Les principales commandes que nous utiliserons sont les suivantes :
Eigenv alues
{{a, b} , {c, d}}
: calcul des valeurs propres
303
Par conséquent :
e
[A]t = [T]
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
e
l1t
0 · · · 0
0 e
l2t
0
. . .
. . .
0
. . .
0
0
· · · 0 e
lnt
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
[T]
−1
Les fonctions e
l1t , e
l2t , . . . , e
lnt qui constituent la base de fonctions élémentaires du vecteur d’état, donc
des signaux internes du système, sont appelées les modes du système.
d) Méthode de Cayley-Hamilton
Cette méthode, qui repose sur la propriété d’une matrice d’être toujours solution de son équation caractéristique, présente l’avantage d’être relativement rapide pour des matrices d’ordres peu élevés et de mettre
en œuvre des calculs moins complexes, donc moins générateurs d’erreurs de calcul.
Considérons une matrice [A] et son équation caractéristique :
det (lI − [A]) = l
n + a n−1 l
n−1 + · · · + a 1 l + a 0 = 0.
On a toujours :
[A]
n + a n−1 [A]
n−1 + · · · + a 1 [A] + a 0 I = 0
Cette équation permet d’affirmer que pour toute matrice carrée d’ordre n possédant n valeurs propres distinctes, toute puissance de [A] supérieure ou égale à n peut s’exprimer en fonction d’une combinaison des
puissances de [A] strictement inférieures à n.
On peut donc écrire :
e
[A]t = f n−1 (t) [A]
n−1 + f n−2 (t) [A]
n−2 + · · · + f 1 (t) [A] + f 0 (t)I
La recherche des fonctions f i (t) ne pose aucune difficulté : les valeurs propres de la matrice [A] vérifiant
obligatoirement cette équation, on construit un système de n équations où les n fonctions f i (t) sont les
inconnues et la résolution de ce système permet de déterminer e
[A]t .
Soit :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
e
l1t = f n−1 (t)l
n−1
1
+ · · · + f 1 (t)l 1 + f 0 (t)
e
l2t = f n−1 (t)l
n−1
2
+ · · · + f 1 (t)l 2 + f 0 (t)
. . .
e
lnt = f n−1 (t)l
n−1
n
+ · · · + f 1 (t)l n + f 0 (t)
e) Utilisation de Mathematica
L’utilisation d’un logiciel de calcul formel comme Mathematica peut donner accès rapidement à l’expression de la matrice de transition. En effet, il permet d’obtenir instantanément les vecteurs propres, donc la
matrice modale et supporte la plupart des opérations matricielles.
Avec Mathematica, une matrice
a b
c d
doit être définie selon la syntaxe suivante :
{{a, b} , {c, d}}
Les principales commandes que nous utiliserons sont les suivantes :
Eigenv alues
{{a, b} , {c, d}}
: calcul des valeurs propres