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14 • Représentation d’état des systèmes à temps continu
Eigenvectors
{{a, b} , {c, d}}
: calcul des vecteurs propres
Inverse
{{a, b} , {c, d}}
: inversion d’une matrice
{{a, b} , {c, d}} · {{a
, b
} , {c
, d
}} : multiplication matricielle
Dans l’exemple qui est développé dans le paragraphe suivant, le lecteur pourra apprécier le gain de temps
que procure l’utilisation de Mathematica ou de tout autre logiciel de même nature. Par ailleurs, les risques
d’erreurs de calcul sont évidemment grandement réduits.
f) Exemple
Considérons la matrice de commande [A] =
−2 −2
−1 −3
.
Calculons la matrice de transition en utilisant, dans un premier temps, la méthode de diaginalisation.
Les valeurs propres de cette matrices sont solutions de son équation caractéristique :
det (lI − [A]) = 0 ⇒ det
l 0
0 l
−
−2 −2
−1 −3
= det
l + 2
2
1
l + 3
= 0
soit :
(l + 2) (l + 3) − 2 = 0 ⇒ l
2 + 5l + 4 = 0
d’où :
l 1 = −1 et l 2 = −4
Calculons le premier vecteur propre :
−2 −2
−1 −3
x
y
= l 1
x
y
= −
x
y
⇒
−2x − 2y = −x
−x − 3y = −y
⇒ x = −2y
Remarque : Ne soyons pas surpris de ce résultat : il existe une infinité de vecteurs propres, tous
colinéaires, associés à une valeur propre.
Prenons par exemple :
v 1 =
−2
1
Le second vecteur propre se calcule tout aussi facilement :
−2 −2
−1 −3
x
y
= l 2
x
y
= −4
x
y
⇒
−2x − 2y = −4x
−x − 3y = −4y
⇒ x = y
Prenons par exemple :
v 2 =
1
1
On a donc :
[T] =
−2 1
1 1