14.2 Résolution des équations d’état
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Remarque : Il est conseillé d’être particulièrement vigilant à l’ordre des produits des matrices et des
vecteurs, la multiplication matricielle n’étant pas commutative.
Il apparaît clairement, en confrontant cette expression à la solution générale déterminée dans le paragraphe précédent, soit :
x(t) = e
[A]t x(0) +
t
0
e
[A](t−t) (B) e(t) dt
que la matrice de transition e
[A]t possède pour transformée de Laplace la matrice (pI − [A])
−1 .
Transformons l’expression de (pI − [A])
−1 :
(pI − [A])
−1 =
1
p
I −
[A]
p
−1
=
I
p
+
[A]
p 2 +
[A]
2
p 3 + · · · +
[A]
n
p n+1 + · · ·
En appliquant la transformation de Laplace inverse, on obtient :
e
[A]t =
I + [A] t +
[A]
2
2!
t
2 + · · · +
[A]
n
n!
t
n + · · ·
Cette expression ne surprendra personne puisqu’on y retrouve l’expression du développement de Taylor.
b) Application au calcul direct de la matrice de transition
On peut utiliser directement l’expression du développement de Taylor à condition que la matrice de commande soit nilpotente.
Remarque : Une matrice carrée est dite nilpotente si il existe un entier k positif tel que [A]
n = [0] pour
tout n > k. Bien évidemment, plus k est petit, plus le calcul direct est simple et rapide.
Considérons par exemple la matrice de commande : [A] =
0 2
0 0
.
On a :
[A]
2 =
0 2
0 0
×
0 2
0 0
=
0 0
0 0
Par conséquent :
[A]
n =
0 0
0 0
, ∀n 2
On a donc :
e
[A]t =
I + [A] t +
[A]
2
2!
t
2 + · · · +
[A]
n
n!
t
n + · · ·
=
1 0
0 1
+
0 2t
0 0
=
1 2t
0 1
c) Méthode de diagonalisation de la matrice de transition
Il est facile de remarquer que le calcul de la matrice de transition est très simple à effectuer si celle-ci est
diagonale.