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14 • Représentation d’état des systèmes à temps continu
14.2 RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS D’ÉTAT
Résoudre les équations d’état consiste à déterminer l’expression du vecteur d’état x(t) en fonction du temps,
autrement dit à déterminer les expressions temporelles des n variables d’état, connaissant le système (c’està-dire connaissant [A], (B) et (C)) et connaissant l’entrée e(t) qui lui est appliquée.
14.2.1 Étude préalable
Si on avait affaire à un système décrit par une simple équation différentielle et non par un système différentiel, l’équation d’état se résumerait à :
˙
x = ax + be(t)
La solution d’une telle équation différentielle est connue et a pour expression :
x(t) = e
at x(0) +
t
0
e
a(t−t) be(t) dt
On reconnaît bien sûr dans cette expression la somme de la solution de l’équation correspondant au régime
libre (ou autonome), soit e
at x(0) et de la solution correspondant au régime forcé (ou commandé).
14.2.2 Généralisation au système vectoriel
Considérons le système différentiel représentant les équations d’état :
˙
x(t) = [A] x(t) + (B) e(t)
On obtient, par généralisation du résultat précédent :
x(t) = e
[A]t x(0) +
t
0
e
[A](t−t) (B) e(t) dt
Dans cette écriture, e
[A]t représente une matrice exponentielle que l’on note en général F(t) et que l’on
appelle matrice de transition du système.
Si on connaît l’état du système à un instant t 1 différent de 0, on peut calculer son état à un instant t
quelconque :
x(t) = e
[A](t−t1) x(t 1 ) +
t
t1
e
[A](t−t) (B) e(t) dt
14.2.3 Calcul de la matrice de transition
L’opération la plus délicate, dans la résolution des équations d’état, consiste à calculer la matrice de transition. De nombreuses méthodes existent. Nous nous contenterons de présenter ici les plus classiques.
a) Utilisation de la transformation de Laplace
Appliquons la transformation de Laplace au système d’équations différentielles de la représentation d’état :
˙
x(t) = [A] x(t) + (B) e(t) ⇒ pX( p) − x(0) = [A] X( p) + (B) E( p)
soit :
(pI − [A]) X( p) = x(0) + (B) E( p)
où [I] représente la matrice carrée identité de dimension n,
d’où :
X( p) = (pI − [A])
−1 x(0) + (pI − [A])
−1 (B) E( p)
14 • Représentation d’état des systèmes à temps continu
14.2 RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS D’ÉTAT
Résoudre les équations d’état consiste à déterminer l’expression du vecteur d’état x(t) en fonction du temps,
autrement dit à déterminer les expressions temporelles des n variables d’état, connaissant le système (c’està-dire connaissant [A], (B) et (C)) et connaissant l’entrée e(t) qui lui est appliquée.
14.2.1 Étude préalable
Si on avait affaire à un système décrit par une simple équation différentielle et non par un système différentiel, l’équation d’état se résumerait à :
˙
x = ax + be(t)
La solution d’une telle équation différentielle est connue et a pour expression :
x(t) = e
at x(0) +
t
0
e
a(t−t) be(t) dt
On reconnaît bien sûr dans cette expression la somme de la solution de l’équation correspondant au régime
libre (ou autonome), soit e
at x(0) et de la solution correspondant au régime forcé (ou commandé).
14.2.2 Généralisation au système vectoriel
Considérons le système différentiel représentant les équations d’état :
˙
x(t) = [A] x(t) + (B) e(t)
On obtient, par généralisation du résultat précédent :
x(t) = e
[A]t x(0) +
t
0
e
[A](t−t) (B) e(t) dt
Dans cette écriture, e
[A]t représente une matrice exponentielle que l’on note en général F(t) et que l’on
appelle matrice de transition du système.
Si on connaît l’état du système à un instant t 1 différent de 0, on peut calculer son état à un instant t
quelconque :
x(t) = e
[A](t−t1) x(t 1 ) +
t
t1
e
[A](t−t) (B) e(t) dt
14.2.3 Calcul de la matrice de transition
L’opération la plus délicate, dans la résolution des équations d’état, consiste à calculer la matrice de transition. De nombreuses méthodes existent. Nous nous contenterons de présenter ici les plus classiques.
a) Utilisation de la transformation de Laplace
Appliquons la transformation de Laplace au système d’équations différentielles de la représentation d’état :
˙
x(t) = [A] x(t) + (B) e(t) ⇒ pX( p) − x(0) = [A] X( p) + (B) E( p)
soit :
(pI − [A]) X( p) = x(0) + (B) E( p)
où [I] représente la matrice carrée identité de dimension n,
d’où :
X( p) = (pI − [A])
−1 x(0) + (pI − [A])
−1 (B) E( p)