14.1 Définitions
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Pour être complet, il convient d’exprimer le signal de sortie en fonction du vecteur d’état, afin de conserver
une certaine unité au formalisme d’ensemble.
Comme s = x 3 , on écrit : s(t) =
0 0 1
⎛
⎜
⎜
⎝
x 1
x 2
x 3
⎞
⎟
⎟
⎠ = (C) x
14.1.3 Cas général
Dans le cas général, le système peut avoir plusieurs entrées et plusieurs sorties. Soit n le nombre de variables
d’état, m le nombre d’entrées et p le nombre de sorties.
Dans ces conditions, la matrice de commande est toujours une matrice n × n, mais, cette fois, [B] est une
matrice n × m et [C] est une matrice p × n. Pour être complet, il faut tenir compte d’une possible relation
directe entre entrées et sorties. La matrice [D], de dimensions m × p représente ce lien. Signalons pour finir
que les coefficients des différentes matrices peuvent être variables dans le temps.
On a alors :
˙
x(t) = [A(t)] x(t) + [B(t)] e(t)
s(t) = [C(t)] x(t) + [D(t)] e(t)
La première équation s’appelle l’équation de commande. La seconde, équation d’observation. On adopte
fréquemment la représentation schématique de la figure 14.2 pour illustrer cette modélisation. Attention,
dans cette représentation, les signaux sont en réalité des vecteurs.
Figure 14.2 Représentation schématique d’une modélisation d’état.
Si ces coefficients sont constants, le système est dit invariant et on a :
˙
x(t) = [A] x(t) + [B] e(t)
s(t) = [C] x(t) + [D] e(t)
Dans le cas des systèmes mono-entrée, mono-sortie invariants, cas qui retiendra notre attention dans la suite
de l’étude, on retrouve l’écriture mise en évidence dans le paragraphe précédent où la matrice de commande
[A] est toujours de dimension n×n. Cette fois, (B) est un vecteur colonne de dimension n, (C) est un vecteur
ligne de dimension n et [D] devient un scalaire d :
˙
x(t) = [A] x(t) + (B) e(t)
s(t) = (C) x(t) + de(t)
Remarque : Il est rare que la sortie du système soit directement reliée à son entrée. On a donc très
souvent d = 0.
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Pour être complet, il convient d’exprimer le signal de sortie en fonction du vecteur d’état, afin de conserver
une certaine unité au formalisme d’ensemble.
Comme s = x 3 , on écrit : s(t) =
0 0 1
⎛
⎜
⎜
⎝
x 1
x 2
x 3
⎞
⎟
⎟
⎠ = (C) x
14.1.3 Cas général
Dans le cas général, le système peut avoir plusieurs entrées et plusieurs sorties. Soit n le nombre de variables
d’état, m le nombre d’entrées et p le nombre de sorties.
Dans ces conditions, la matrice de commande est toujours une matrice n × n, mais, cette fois, [B] est une
matrice n × m et [C] est une matrice p × n. Pour être complet, il faut tenir compte d’une possible relation
directe entre entrées et sorties. La matrice [D], de dimensions m × p représente ce lien. Signalons pour finir
que les coefficients des différentes matrices peuvent être variables dans le temps.
On a alors :
˙
x(t) = [A(t)] x(t) + [B(t)] e(t)
s(t) = [C(t)] x(t) + [D(t)] e(t)
La première équation s’appelle l’équation de commande. La seconde, équation d’observation. On adopte
fréquemment la représentation schématique de la figure 14.2 pour illustrer cette modélisation. Attention,
dans cette représentation, les signaux sont en réalité des vecteurs.
Figure 14.2 Représentation schématique d’une modélisation d’état.
Si ces coefficients sont constants, le système est dit invariant et on a :
˙
x(t) = [A] x(t) + [B] e(t)
s(t) = [C] x(t) + [D] e(t)
Dans le cas des systèmes mono-entrée, mono-sortie invariants, cas qui retiendra notre attention dans la suite
de l’étude, on retrouve l’écriture mise en évidence dans le paragraphe précédent où la matrice de commande
[A] est toujours de dimension n×n. Cette fois, (B) est un vecteur colonne de dimension n, (C) est un vecteur
ligne de dimension n et [D] devient un scalaire d :
˙
x(t) = [A] x(t) + (B) e(t)
s(t) = (C) x(t) + de(t)
Remarque : Il est rare que la sortie du système soit directement reliée à son entrée. On a donc très
souvent d = 0.