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14 • Représentation d’état des systèmes à temps continu
L’état d’un système est en général représenté par un vecteur d’état que l’on note, en ce qui concerne
notre exemple :
x =
⎛
⎜
⎜
⎝
x 1
x 2
x 3
⎞
⎟
⎟
⎠ ou encore x(t) =
⎛
⎜
⎜
⎝
x 1 (t)
x 2 (t)
x 3 (t)
⎞
⎟
⎟
⎠
Remarque : Ne pas oublier que, même si on se contente de la première écriture par souci d’allègement
des expressions, les variables d’état, ici, sont toutes des fonctions continues du temps.
Dans le cas le plus général où n variables d’états sont identifiées dans le système, on aura :
x =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
x 1
. . .
x i
. . .
x n
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
ou encore x(t) =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
x 1 (t)
. . .
x i (t)
. . .
x n (t)
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
Remarque : Il est important de noter, par ailleurs, que la représentation d’état d’un système n’est pas
unique et dépend, notamment, du choix des variables d’état que nous opérons.
14.1.2 Modélisation du fonctionnement du système
Lorsqu’un système est modélisé sous la forme d’une représentation d’état, on montre qu’il est possible d’exprimer l’état du système à un instant donné en fonction du signal d’entrée à ce même instant et en fonction
de son « passé », autrement dit, de son état précédent. Comme nous avons affaire à des variables continues
du temps, la notion d’état précédent n’existe pas vraiment. En revanche, ce concept est à rapprocher de
l’évolution du système, autrement dit des variations de chaque variable d’état.
Cela signifie que, d’une manière générale, on peut exprimer l’évolution du système, modélisée par un
vecteur constitué des dérivées premières des composantes du vecteur d’état, en fonction du vecteur d’état
du système. L’objet qui lie ces deux vecteurs est appelé matrice de commande du système. Le vecteur d’état
dépendant bien évidemment aussi du signal d’entrée, on a, pour notre exemple de la figure 14.1 la relation :
˙
x =
⎛
⎜
⎜
⎝
˙
x 1
˙
x 2
˙
x 3
⎞
⎟
⎟
⎠ = [A]
⎛
⎜
⎜
⎝
x 1
x 2
x 3
⎞
⎟
⎟
⎠ + (B) e(t)
La matrice de commande [A] est une matrice carrée, dans notre cas de dimension 3 × 3 ; (B) est un vecteur
colonne.
À partir du schéma de la figure 14.1, on peut facilement calculer la dérivée de chaque variable d’état et
déterminer la matrice [A] et le vecteur (B) :
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
˙
x 1 = e − s = e − x 3
˙
x 2 = x 1 − Kx 2
˙
x 3 = x 2
⇒
⎛
⎜
⎜
⎝
˙
x 1
˙
x 2
˙
x 3
⎞
⎟
⎟
⎠ =
⎡
⎢
⎢
⎣
0 0 −1
1 −K
0
0 1
0
⎤
⎥
⎥
⎦
⎛
⎜
⎜
⎝
x 1
x 2
x 3
⎞
⎟
⎟
⎠ +
⎛
⎜
⎜
⎝
1
0
0
⎞
⎟
⎟
⎠ e(t)
14 • Représentation d’état des systèmes à temps continu
L’état d’un système est en général représenté par un vecteur d’état que l’on note, en ce qui concerne
notre exemple :
x =
⎛
⎜
⎜
⎝
x 1
x 2
x 3
⎞
⎟
⎟
⎠ ou encore x(t) =
⎛
⎜
⎜
⎝
x 1 (t)
x 2 (t)
x 3 (t)
⎞
⎟
⎟
⎠
Remarque : Ne pas oublier que, même si on se contente de la première écriture par souci d’allègement
des expressions, les variables d’état, ici, sont toutes des fonctions continues du temps.
Dans le cas le plus général où n variables d’états sont identifiées dans le système, on aura :
x =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
x 1
. . .
x i
. . .
x n
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
ou encore x(t) =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
x 1 (t)
. . .
x i (t)
. . .
x n (t)
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
Remarque : Il est important de noter, par ailleurs, que la représentation d’état d’un système n’est pas
unique et dépend, notamment, du choix des variables d’état que nous opérons.
14.1.2 Modélisation du fonctionnement du système
Lorsqu’un système est modélisé sous la forme d’une représentation d’état, on montre qu’il est possible d’exprimer l’état du système à un instant donné en fonction du signal d’entrée à ce même instant et en fonction
de son « passé », autrement dit, de son état précédent. Comme nous avons affaire à des variables continues
du temps, la notion d’état précédent n’existe pas vraiment. En revanche, ce concept est à rapprocher de
l’évolution du système, autrement dit des variations de chaque variable d’état.
Cela signifie que, d’une manière générale, on peut exprimer l’évolution du système, modélisée par un
vecteur constitué des dérivées premières des composantes du vecteur d’état, en fonction du vecteur d’état
du système. L’objet qui lie ces deux vecteurs est appelé matrice de commande du système. Le vecteur d’état
dépendant bien évidemment aussi du signal d’entrée, on a, pour notre exemple de la figure 14.1 la relation :
˙
x =
⎛
⎜
⎜
⎝
˙
x 1
˙
x 2
˙
x 3
⎞
⎟
⎟
⎠ = [A]
⎛
⎜
⎜
⎝
x 1
x 2
x 3
⎞
⎟
⎟
⎠ + (B) e(t)
La matrice de commande [A] est une matrice carrée, dans notre cas de dimension 3 × 3 ; (B) est un vecteur
colonne.
À partir du schéma de la figure 14.1, on peut facilement calculer la dérivée de chaque variable d’état et
déterminer la matrice [A] et le vecteur (B) :
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
˙
x 1 = e − s = e − x 3
˙
x 2 = x 1 − Kx 2
˙
x 3 = x 2
⇒
⎛
⎜
⎜
⎝
˙
x 1
˙
x 2
˙
x 3
⎞
⎟
⎟
⎠ =
⎡
⎢
⎢
⎣
0 0 −1
1 −K
0
0 1
0
⎤
⎥
⎥
⎦
⎛
⎜
⎜
⎝
x 1
x 2
x 3
⎞
⎟
⎟
⎠ +
⎛
⎜
⎜
⎝
1
0
0
⎞
⎟
⎟
⎠ e(t)