Chapitre 14
Représentation d’état des systèmes
à temps continu
14.1 DÉFINITIONS
Toutes les méthodes étudiées jusqu’à présent, que ce soit pour les systèmes linéaires ou non, en temps
continu ou en temps discret restent valables et efficaces jusqu’à ce que ces systèmes atteignent une complexité telle que l’on ne puisse plus se satisfaire de l’unique relation entrée - sortie pour les commander
correctement. De même, ces modèles deviennent difficiles à mettre en œuvre lorsque les systèmes étudiés
possèdent plusieurs entrées et plusieurs sorties. Le représentation d’état des systèmes est un outil puissant
permettant de modéliser le fonctionnement de systèmes linéaires ou non, en temps continu ou en temps
discret et qui possède en outre, l’avantage de conserver la représentation temporelle des phénomènes.
14.1.1 État d’un système et variables d’état
Considérons le système représenté sur la figure 14.1. Ce système est composé d’une cascade d’éléments
différents (même si nous n’avons utilisé que des intégrateurs et des gains) et la commande automatique
d’un tel système peut très bien aller beaucoup plus loin que la seule ambition de réguler le signal de sortie.
Un certain nombre de signaux, que l’on peut qualifier d’internes au système apparaissent nettement sur le
schéma. Nous les avons baptisé x 1 , x 2 et x 3 . Quoi de plus naturel, en effet, que de vouloir commander ces
différents signaux par l’intermédiaire du seul signal d’entrée e. Le problème de la commande du système
ne se réduit donc plus au simple asservissement du signal de sortie mais peut donc être considéré comme
la maîtrise simultanée de l’évolution des trois signaux x 1 , x 2 et x 3 . On dit que l’ensemble de ces trois
signaux forment l’état du système et la modélisation que nous allons associer à cette représentation va
nous permettre d’envisager la commande de cet état grâce au signal d’entrée, autrement dit nous formulons
l’ambition (si cela est possible, bien entendu) d’amener le système dans un état donné (x 1 , x 2 et x 3 devant
converger vers des valeurs pré-établies) grâce au signal d’entrée du système. Les variables internes choisies
sont appelées variables d’état du système.
Figure 14.1 Exemple de représentation d’état d’un système.
Représentation d’état des systèmes
à temps continu
14.1 DÉFINITIONS
Toutes les méthodes étudiées jusqu’à présent, que ce soit pour les systèmes linéaires ou non, en temps
continu ou en temps discret restent valables et efficaces jusqu’à ce que ces systèmes atteignent une complexité telle que l’on ne puisse plus se satisfaire de l’unique relation entrée - sortie pour les commander
correctement. De même, ces modèles deviennent difficiles à mettre en œuvre lorsque les systèmes étudiés
possèdent plusieurs entrées et plusieurs sorties. Le représentation d’état des systèmes est un outil puissant
permettant de modéliser le fonctionnement de systèmes linéaires ou non, en temps continu ou en temps
discret et qui possède en outre, l’avantage de conserver la représentation temporelle des phénomènes.
14.1.1 État d’un système et variables d’état
Considérons le système représenté sur la figure 14.1. Ce système est composé d’une cascade d’éléments
différents (même si nous n’avons utilisé que des intégrateurs et des gains) et la commande automatique
d’un tel système peut très bien aller beaucoup plus loin que la seule ambition de réguler le signal de sortie.
Un certain nombre de signaux, que l’on peut qualifier d’internes au système apparaissent nettement sur le
schéma. Nous les avons baptisé x 1 , x 2 et x 3 . Quoi de plus naturel, en effet, que de vouloir commander ces
différents signaux par l’intermédiaire du seul signal d’entrée e. Le problème de la commande du système
ne se réduit donc plus au simple asservissement du signal de sortie mais peut donc être considéré comme
la maîtrise simultanée de l’évolution des trois signaux x 1 , x 2 et x 3 . On dit que l’ensemble de ces trois
signaux forment l’état du système et la modélisation que nous allons associer à cette représentation va
nous permettre d’envisager la commande de cet état grâce au signal d’entrée, autrement dit nous formulons
l’ambition (si cela est possible, bien entendu) d’amener le système dans un état donné (x 1 , x 2 et x 3 devant
converger vers des valeurs pré-établies) grâce au signal d’entrée du système. Les variables internes choisies
sont appelées variables d’état du système.
Figure 14.1 Exemple de représentation d’état d’un système.