Solutions des exercices
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1.8 Calcul de la réponse d’un système du second ordre à une rampe
On considère un système régi par l’équation différentielle :
d
2 s
dt 2 + 3
ds
dt
+ 2s(t) = e(t)
Calculer la réponse de ce système à une entrée en rampe e(t) = t.
1.9 Mise en équation d’un système électrique du second ordre
On considère le montage électrique représenté sur la figure 1.10. On injecte dans ce système un signal
d’entrée e(t) correspondant à un échelon de tension de 0 à 5 V.
Déterminer l’équation différentielle qui lie e(t) à la tension de sortie s(t).
En déduire la fonction de transfert du système.
Figure 1.10 Circuit électrique du second ordre.
SOLUTIONS
1.1 Décomposons la fonction sinus en une combinaison d’exponentielles complexes :
s(t) = sin vt =
e
jvt − e
− jvt
2j
Appliquons la définition de la transformée de Laplace :
S( p) =
+∞
0
s(t) e
− pt dt =
+∞
0
sin vt e
− pt dt =
+∞
0
e
jvt − e
− jvt
2j
e
− pt dt
S( p) =
1
2j
+∞
0
e
jvt e
− pt dt −
1
2j
+∞
0
e
− jvt e
− pt dt
S( p) =
1
2j
+∞
0
e
−( p− jv)t dt −
1
2j
+∞
0
e
−( p+ jv)t dt
S( p) =
1
2j
e
−( p− jv)t
−( p − jv)
+∞
0
−
1
2j
e
−( p+ jv)t
−( p + jv)
+∞
0