Solutions des exercices
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Finalement :
C(z) =
1 + 3
1 − z
−1
1 + 1,32
1 − z −1
=
4 − 3z
−1
2,32 − 1,32z −1
13.3 Construisons la fonction de transfert en boucle ouverte globale G(z) a priori : elle possède obligatoirement un
pôle égal à 1 pour garantir une erreur de position nulle.
On a donc :
G(z) =
a
(z − 1)(z − b)
d’où :
H(z) =
a
(z − 1)(z − b) + a
=
a
z 2 − (1 + b) z + a + b
Or nous devons avoir, pour garantir les performances exigées :
H(z) =
KBF
1 + e
−2j BF v nBF Te −2 e
−j BF v nBF Te cos vnBFTe
1 − j
2
BF
z 2 − 2z e −j BF v nBF Te cos vnBFTe
1 − j
2
BF + e −2j BF v nBF Te
avec :
jBF = 0,6 et vnBF =
3
tm
= 7,5 rad/s
d’où :
H(z) =
0,88KBF
z 2 − 0,29z + 0,17
Identifions les deux fonctions de transfert en boucle fermée :
⎧
⎨
⎩
1 + b = 0,29
a + b = 0,17
⇒
⎧
⎨
⎩
b = −0,71
a = 0,88
Le gain statique en boucle fermée est bien sûr égal à 1 puisque l’erreur de position est nulle.
On a alors :
G(z) =
0,88
(z − 1)(z + 0,71)
d’où :
C(z) =
G(z)
A(z)
=
0,88(z − 0,7)
(z − 1)(z + 0,71)(z + 0,7)
13.4 En l’absence de correcteur, la fonction de transfert en boucle fermée a pour expression :
H(z) =
G(z)
1 + G(z)
=
3z
4z − 0,4
L’unique pôle de cette fonction de transfert vaut : p1 = 0,1.
En présence du correcteur, la fonction de transfert en boucle ouverte a pour expression :
G(z) =
K
1 − z −1 ·
3z
z − 0,4
=
3Kz
2
(z − 1) (z − 0,4)
soit, en boucle fermée :
H(z) =
2Kz
2
(1 + 3K) z 2 − 1,4z + 0,4
Calculons les pôles de cette fonction de transfert en boucle fermée.