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13 • Correction des systèmes échantillonnés asservis
➤ Visualisation avec Mathematica
On peut visualiser sans peine le comportement du système avant et après correction :
SZ = z (z − 0.2) / ((2z − 0.9)(z − 1))
SK = InverseZTransform [SZ, z, k]
DiscretePlot
SK, {k, 1,8}
puis :
SZCOR = z
2 (z − 0.2) /
(2z
2 − 1.9z + 0.7)(z − 1)
SKCOR = InverseZTransform [SZCOR, z, k]
DiscretePlot
SKCOR, {k, 1,8}
13.2 La valeur de K qui assure le temps de montée voulu se calcule en utilisant la relation approchée :
vc0 ≈
3
tm
≈ 2 rad/s
On a alors :
G(vc0) = 1 ⇒ K = 40
Pour cette valeur de K, on obtient une marge de phase égale à :
Dw = p + w(vc0) = p −
p
2
− 2 arctan
2
4
= 37
◦
Il est donc nécessaire d’introduire un correcteur à avance de phase caractérisé par une remontée de phase de 23
◦ centrée
sur la pulsation vc0.
Soit :
C( p) =
1 + aTp
1 + Tp
avec :
wmax = arcsin
a − 1
a + 1
⇒ a = 2,28
et :
1
T
√
a
= vc0 ⇒ T = 0,33 s
d’où :
C( p) =
1 + 0,75p
1 + 0,33p
Discrétisons ce correcteur et utilisons, pour cela, l’équivalent à la dérivation :
p ↔
1 − z
−1
Te
soit :
C(z) =
1 + 0,75
1 − z
−1
Te
1 + 0,33
1 − z
−1
Te
Choisissons la fréquence d’échantillonnage de sorte qu’elle soit comprise entre 6 fois et 25 fois la bande passante du
système. Cette bande passante est telle que :
G(2p fpas) =
40
2p fpas
4p 2 f
2
pas + 16
=
1
√
2
⇒ fpas = 0,4 Hz
On choisit par exemple :
fe = 4 Hz ⇔ Te = 0,25 s