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13 • Correction des systèmes échantillonnés asservis
13.4 Correction de précision et de stabilité par placement des pôles
On considère un système à temps discret de fonction de transfert :
G(z) =
3z
z − 0,4
Ce système étant placé dans une boucle à retour unitaire, on introduit un correcteur de fonction de transfert :
C(z) =
K
1 − z −1
Calculer la valeur du pôle de la fonction de transfert en boucle fermée en l’absence de correcteur.
En présence du correcteur, dont la vocation est d’annuler l’erreur de position, calculer la valeur de K qui
permettra de placer les nouveaux pôles de la fonction de transfert en boucle fermée, à des valeurs telles que
leur module soit égal à celui du pôle calculé initialement en l’absence du correcteur.
SOLUTIONS
13.1 L’erreur de position, par définition, est égale à :
´p = lim
z→1
1
1 + G(z)
= lim
z→1
⎡
⎢
⎢
⎣
1
1 +
z − 0,2
z − 0,7
⎤
⎥
⎥
⎦ = 0,27 = 27 %
Cette erreur de position, bien évidemment, est inacceptable.
Calculons la fonction de transfert en boucle fermée :
H(z) =
G(z)
1 + G(z)
=
z − 0,2
2z − 0,9
Cette fonction de transfert correspond à l’équation de récurrence :
sk = 0,45sk−1 + 0,5ek − 0,1ek−1
Par ailleurs, ce système est stable en boucle fermée puisque l’unique pôle de la fonction de transfert en boucle fermée
est inférieur à 1.
Soit :
p1 =
0,9
2
= 0,45 < 1
Calculons la suite d’échantillons de sortie (tableau 13.7) et représentons-la graphiquement (figure 13.15).
Tableau 13.7 SIMULATION DE LA SUITE D’ÉCHANTILLONS.
Si on introduit un intégrateur dans la chaîne directe, on a :
G(z) =
1
1 − z −1 ·
z − 0,2
z − 0,7
=
z (z − 0,2)
(z − 1) (z − 0,7)
soit, en boucle fermée :
H(z) =
G(z)
1 + G(z)
=
z (z − 0,2)
z (z − 0,2) + (z − 1) (z − 0,7)
=
z (z − 0,2)
2z 2 − 1,9z + 0,7