Exercices
289
On a alors :
G(z) =
0,39
(z − 1)(z − 0,12)
d’où :
C(z) =
G(z)
A(z)
=
0,39(z − 0,8)
(z − 1)(z − 0,12)(z + 0,3)
EXERCICES
13.1 Correction de la précision d’un système échantillonné
On considère un système à temps discret de fonction de transfert :
G(z) =
z − 0,2
z − 0,7
Ce système étant placé dans une boucle à retour unitaire, calculer l’erreur de position en boucle fermée et
calculer puis tracer la suite des premiers échantillons de sortie en considérant que le signal de consigne est
un échelon unité.
On introduit ensuite un intégrateur dans la chaîne directe, soit C(z) =
1
1 − z −1 .
Montrer que le système est toujours stable et calculer puis tracer la suite des premiers échantillons de sortie
en considérant que le signal de consigne est un échelon unité. Conclure.
13.2 Synthèse par discrétisation du correcteur numérique d’un système à temps continu d’ordre 3
On considère un système de fonction de transfert G( p) =
K
p( p + 4) 2 placé dans une boucle de régulation à
retour unitaire. On souhaite avoir à la fois une marge de phase supérieure à 60
◦ et un temps de montée plus
petit que 1,5 s et on envisage, pour ce faire, de corriger numériquement les performances de ce système.
Calculer la valeur de K qui assure, en boucle fermée, un temps de montée de 1,5 s. Calculer, pour cette
valeur de K la valeur de la marge de phase. En déduire l’expression de la fonction de transfert du correcteur
à temps discret qu’il faut introduire dans la chaîne directe pour satisfaire au cahier des charges.
13.3 Synthèse d’un correcteur par méthode polynomiale
On considère un système échantillonné (période T e = 0,2 s) de fonction de transfert :
A(z) =
z + 0,7
z − 0,7
Ce système étant placé dans une boucle à retour unitaire, on souhaite qu’il soit caractérisé par les performances suivantes : ´ p = 0, t m = 0,4 s et j BF = 0,6 (marge de phase d’un système continu équivalent égale
à 60
◦ et dépassement de l’ordre de 10 %).
Calculer l’expression de la fonction de transfert du correcteur à temps discret qu’il faut introduire dans la
chaîne directe pour satisfaire au cahier des charges.
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On a alors :
G(z) =
0,39
(z − 1)(z − 0,12)
d’où :
C(z) =
G(z)
A(z)
=
0,39(z − 0,8)
(z − 1)(z − 0,12)(z + 0,3)
EXERCICES
13.1 Correction de la précision d’un système échantillonné
On considère un système à temps discret de fonction de transfert :
G(z) =
z − 0,2
z − 0,7
Ce système étant placé dans une boucle à retour unitaire, calculer l’erreur de position en boucle fermée et
calculer puis tracer la suite des premiers échantillons de sortie en considérant que le signal de consigne est
un échelon unité.
On introduit ensuite un intégrateur dans la chaîne directe, soit C(z) =
1
1 − z −1 .
Montrer que le système est toujours stable et calculer puis tracer la suite des premiers échantillons de sortie
en considérant que le signal de consigne est un échelon unité. Conclure.
13.2 Synthèse par discrétisation du correcteur numérique d’un système à temps continu d’ordre 3
On considère un système de fonction de transfert G( p) =
K
p( p + 4) 2 placé dans une boucle de régulation à
retour unitaire. On souhaite avoir à la fois une marge de phase supérieure à 60
◦ et un temps de montée plus
petit que 1,5 s et on envisage, pour ce faire, de corriger numériquement les performances de ce système.
Calculer la valeur de K qui assure, en boucle fermée, un temps de montée de 1,5 s. Calculer, pour cette
valeur de K la valeur de la marge de phase. En déduire l’expression de la fonction de transfert du correcteur
à temps discret qu’il faut introduire dans la chaîne directe pour satisfaire au cahier des charges.
13.3 Synthèse d’un correcteur par méthode polynomiale
On considère un système échantillonné (période T e = 0,2 s) de fonction de transfert :
A(z) =
z + 0,7
z − 0,7
Ce système étant placé dans une boucle à retour unitaire, on souhaite qu’il soit caractérisé par les performances suivantes : ´ p = 0, t m = 0,4 s et j BF = 0,6 (marge de phase d’un système continu équivalent égale
à 60
◦ et dépassement de l’ordre de 10 %).
Calculer l’expression de la fonction de transfert du correcteur à temps discret qu’il faut introduire dans la
chaîne directe pour satisfaire au cahier des charges.