288
13 • Correction des systèmes échantillonnés asservis
En effet :
t m ≈
3
v c0
≈
3
v nBF
et :
j BF ≈
Dw
◦
100
En ce qui concerne la précision, il suffit que G(z) possède un pôle égal à 1 pour que l’erreur de position soit
nulle.
Toutes ces considérations nous permettent donc de déterminer les fonctions H(z) et G(z) idéales, du
second ordre, qui possèdent les performances requises. Pour que notre boucle d’asservissement initiale
(figure 13.13) possède elle-même ces performances, il suffit d’avoir :
G(z) = C(z)A(z)
et donc, de placer dans la chaîne directe, le correcteur de fonction de transfert :
C(z) =
G(z)
A(z)
13.4.2 Exemple
Considérons le système échantillonné à une période T e = 0,2 s de fonction de transfert :
A(z) =
z + 0,3
z − 0,8
On souhaite placer ce système dans une boucle à retour unitaire et on veut que le système possède, en
boucle fermée, les performances suivantes : ´ p = 0, t m = 0,8 s et j BF = 0,45 (marge de phase d’un
système continu équivalent égale à 45
◦ et dépassement de l’ordre de 20 %).
Construisons la fonction G(z) a priori : elle possède obligatoirement un pôle égal à 1 pour garantir une
erreur de position nulle.
On a donc :
G(z) =
a
(z − 1)(z − b)
d’où :
H(z) =
a
(z − 1)(z − b) + a
=
a
z 2 − (1 + b) z + a + b
Or nous devons, avoir, pour garantir les performances exigées :
H(z) =
K BF
1 + e
−2jBFvnBFTe
−2 e
−jBFvnBFTe cos v nBF T e
1 − j
2
BF
z 2 − 2z e −jBFvnBFTe cos v nBF T e
1 − j
2
BF + e −2jBFvnBFTe
avec :
j BF = 0,45 et v nBF =
3
t m
= 3,75 rad/s
d’où :
H(z) =
0,39K BF
z 2 − 1,12z + 0,51
Identifions les deux fonctions de transfert en boucle fermée :
⎧
⎨
⎩
1 + b = 1,12
a + b = 0,51
⇒
⎧
⎨
⎩
b = 0,12
a = 0,39
Le gain statique en boucle fermée est bien sûr égal à 1 puisque l’erreur de position est nulle.
13 • Correction des systèmes échantillonnés asservis
En effet :
t m ≈
3
v c0
≈
3
v nBF
et :
j BF ≈
Dw
◦
100
En ce qui concerne la précision, il suffit que G(z) possède un pôle égal à 1 pour que l’erreur de position soit
nulle.
Toutes ces considérations nous permettent donc de déterminer les fonctions H(z) et G(z) idéales, du
second ordre, qui possèdent les performances requises. Pour que notre boucle d’asservissement initiale
(figure 13.13) possède elle-même ces performances, il suffit d’avoir :
G(z) = C(z)A(z)
et donc, de placer dans la chaîne directe, le correcteur de fonction de transfert :
C(z) =
G(z)
A(z)
13.4.2 Exemple
Considérons le système échantillonné à une période T e = 0,2 s de fonction de transfert :
A(z) =
z + 0,3
z − 0,8
On souhaite placer ce système dans une boucle à retour unitaire et on veut que le système possède, en
boucle fermée, les performances suivantes : ´ p = 0, t m = 0,8 s et j BF = 0,45 (marge de phase d’un
système continu équivalent égale à 45
◦ et dépassement de l’ordre de 20 %).
Construisons la fonction G(z) a priori : elle possède obligatoirement un pôle égal à 1 pour garantir une
erreur de position nulle.
On a donc :
G(z) =
a
(z − 1)(z − b)
d’où :
H(z) =
a
(z − 1)(z − b) + a
=
a
z 2 − (1 + b) z + a + b
Or nous devons, avoir, pour garantir les performances exigées :
H(z) =
K BF
1 + e
−2jBFvnBFTe
−2 e
−jBFvnBFTe cos v nBF T e
1 − j
2
BF
z 2 − 2z e −jBFvnBFTe cos v nBF T e
1 − j
2
BF + e −2jBFvnBFTe
avec :
j BF = 0,45 et v nBF =
3
t m
= 3,75 rad/s
d’où :
H(z) =
0,39K BF
z 2 − 1,12z + 0,51
Identifions les deux fonctions de transfert en boucle fermée :
⎧
⎨
⎩
1 + b = 1,12
a + b = 0,51
⇒
⎧
⎨
⎩
b = 0,12
a = 0,39
Le gain statique en boucle fermée est bien sûr égal à 1 puisque l’erreur de position est nulle.