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13 • Correction des systèmes échantillonnés asservis
Le cahier des charges imposé au système nous amène au calcul classique de la fonction de transfert
du correcteur et il suffit, ensuite, de rechercher un équivalent discret de cette fonction de transfert. Les
équivalences qui peuvent être utilisées sont :
– l’équivalence à la dérivation :
p ↔
1 − z
−1
T e
– la transformation bilinéaire :
p ↔
2
1 − z
−1
T e
1 + z −1
– l’équivalence modale :
p − p i ↔ z − e
piTe
Remarque : rappelons à propos de cette équivalence temporelle que les tables fournies en annexe
proposent des équivalents qui sont spécifiquement adaptés pour conserver le gain statique du système.
On donne :
G( p) =
1
p − p i
↔ G(z) =
−
1
p i
1 − e
piTe
z − e piTe
De sorte que :
G(0) =
1
0 − p i
↔ G(1) = −
1
p i
1 − e
piTe
1 − e piTe
On peut choisir de conserver la valeur du gain pour une autre fréquence que la fréquence nulle, notamment pour la fréquence autour de laquelle porte la correction du système.
13.3.2 Exemple
On souhaite asservir un système continu de fonction de transfert G( p) en utilisant un correcteur numérique
et en imposant le cahier des charges suivant :
– marge de phase Dw = 45
◦ ,
– temps de montée t m = 0,2 s.
On donne :
G( p) =
K
p
10
+ 1
3 avec K > 0 réglable
a) Synthèse du correcteur en temps continu
La valeur de K qui assure le temps de montée voulu se calcule en utilisant la relation approchée :
v c0 ≈
3
t m
≈ 15 rad/s
On a alors :
G(v c0 ) = 1 ⇒ K = 5,86
Pour cette valeur de K, on obtient une marge de phase égale à :
Dw = p + w(v c0 ) = p − 3 arctan
15
10
= 11
◦
Il est donc nécessaire d’introduire un correcteur à avance de phase caractérisé par une remontée de phase
de 34
◦ centrée sur la pulsation v c0 .