13.2 Tentatives d’actions correctives simples
279
13.2.2 Compensation de la perte de stabilité par placement des pôles
Reprenons le système que nous venons d’étudier en ajoutant un gain K dans la chaîne directe en plus de
l’intégrateur. On a donc maintenant :
G(z) =
K
1 − z −1 ·
2z
z − 0,5
=
2Kz
2
(z − 1) (z − 0,5)
avec K = 1
soit, en boucle fermée :
H(z) =
2Kz
2
(1 + 2K) z 2 − 1,5z + 0,5
Cette fois, on a :
D = b
2
− 4ac = (1,5)
2
− 2 (1 + 2K) = 0,25 − 4K
Pour augmenter la marge de stabilité, on doit chercher à réduire le module des pôles. Le discriminant restant
négatif tant que K > 0,0625, nous pouvons partir du principe que les pôles resteront complexes conjugués :
p 1/2 =
1,5 ± j
√
4K − 0,25
2 (1 + 2K)
soit :
| p 1 | = | p 2 | =
(1,5)
2 + 4K − 0,25
2 (1 + 2K)
=
1
√
2 (1 + 2K)
Il suffit de choisir une valeur de K qui correspond à une valeur souhaitée pour le module de chaque pôle,
par exemple :
| p 1 | = | p 2 | = 0,25 pour K = 3,5
On a alors :
H(z) =
7
8 − 1,5z −1 + 0,5z −2
ce qui correspond à l’équation de récurrence :
s k = 0,1875s k−1 − 0,0625s k−2 + 0,875e k
Tableau 13.3 SIMULATION DE LA SUITE D’ÉCHANTILLONS.
On note bien la présence d’un amortissement plus prononcé, ce qui correspond bien à une augmentation
de la marge de stabilité
Remarque : on peut être surpris de corriger la stabilité d’un système à l’aide d’un amplificateur de gain
K > 1. Attention, il ne s’agit pas d’un cas général : c’est la forme particulière du système qui amène
ce résultat auquel nous sommes fort peu habitués. L’étude qui vient d’être faite montre qu’il n’est pas
aussi facile de corriger « intuitivement » un système à temps discret, comme on peut avoir l’habitude
de le faire en temps continu. On retiendra de cette étude la technique de placement des pôles, autrement
dit du choix de la valeur de ceux-ci, ou plutôt de leurs modules.
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13.2.2 Compensation de la perte de stabilité par placement des pôles
Reprenons le système que nous venons d’étudier en ajoutant un gain K dans la chaîne directe en plus de
l’intégrateur. On a donc maintenant :
G(z) =
K
1 − z −1 ·
2z
z − 0,5
=
2Kz
2
(z − 1) (z − 0,5)
avec K = 1
soit, en boucle fermée :
H(z) =
2Kz
2
(1 + 2K) z 2 − 1,5z + 0,5
Cette fois, on a :
D = b
2
− 4ac = (1,5)
2
− 2 (1 + 2K) = 0,25 − 4K
Pour augmenter la marge de stabilité, on doit chercher à réduire le module des pôles. Le discriminant restant
négatif tant que K > 0,0625, nous pouvons partir du principe que les pôles resteront complexes conjugués :
p 1/2 =
1,5 ± j
√
4K − 0,25
2 (1 + 2K)
soit :
| p 1 | = | p 2 | =
(1,5)
2 + 4K − 0,25
2 (1 + 2K)
=
1
√
2 (1 + 2K)
Il suffit de choisir une valeur de K qui correspond à une valeur souhaitée pour le module de chaque pôle,
par exemple :
| p 1 | = | p 2 | = 0,25 pour K = 3,5
On a alors :
H(z) =
7
8 − 1,5z −1 + 0,5z −2
ce qui correspond à l’équation de récurrence :
s k = 0,1875s k−1 − 0,0625s k−2 + 0,875e k
Tableau 13.3 SIMULATION DE LA SUITE D’ÉCHANTILLONS.
On note bien la présence d’un amortissement plus prononcé, ce qui correspond bien à une augmentation
de la marge de stabilité
Remarque : on peut être surpris de corriger la stabilité d’un système à l’aide d’un amplificateur de gain
K > 1. Attention, il ne s’agit pas d’un cas général : c’est la forme particulière du système qui amène
ce résultat auquel nous sommes fort peu habitués. L’étude qui vient d’être faite montre qu’il n’est pas
aussi facile de corriger « intuitivement » un système à temps discret, comme on peut avoir l’habitude
de le faire en temps continu. On retiendra de cette étude la technique de placement des pôles, autrement
dit du choix de la valeur de ceux-ci, ou plutôt de leurs modules.