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13 • Correction des systèmes échantillonnés asservis
soit, en boucle fermée :
H(z) =
2z
2
(z − 1) (z − 0,5) + 2z 2 =
2z
2
3z 2 − 1,5z + 0,5
ou encore :
H(z) =
2
3 − 1,5z −1 + 0,5z −2
ce qui correspond à l’équation de récurrence :
s k = 0,5s k−1 − 0,17s k−2 + 0,67e k
Les pôles de cette fonction de transfert (les racines de l’équation 3z
2
−1,5z+0,5 = 0) se calculent aisément et
on peut vérifier sans peine que leurs modules sont inférieurs à 1. La condition de stabilité est donc toujours
vérifiée.
En effet :
D = b
2
− 4ac = (1,5)
2
− 6 = −3,75
p 1/2 =
1,5 ± j
√
3,75
6
⇒ |p 1 | = | p 2 | = 0,41
Toutefois, les modules de ces pôles sont plus proches de 1 que l’unique pôle du système non corrigé (qui
était égal à 0,17). On peut donc en déduire que la marge de stabilité est légèrement diminuée par l’ajout du
correcteur (elle reste néanmoins très confortable).
Construisons un tableau avec les suites d’échantillons d’entrée (échelon unité) et de sortie (tableau 13.2)
et représentons-les graphiquement (figure 13.5).
Tableau 13.2 SIMULATION DE LA SUITE D’ÉCHANTILLONS.
On note la présence d’un faible dépassement (environ 6 %) ce qui corrobore la légère perte de marge de
stabilité et une rapidité accrue puisque le temps de montée correspond à l’échantillon k = 1, soit t m = T e .
Figure 13.5 Représentation temporelle du comportement du système en boucle fermée
après correction.
13 • Correction des systèmes échantillonnés asservis
soit, en boucle fermée :
H(z) =
2z
2
(z − 1) (z − 0,5) + 2z 2 =
2z
2
3z 2 − 1,5z + 0,5
ou encore :
H(z) =
2
3 − 1,5z −1 + 0,5z −2
ce qui correspond à l’équation de récurrence :
s k = 0,5s k−1 − 0,17s k−2 + 0,67e k
Les pôles de cette fonction de transfert (les racines de l’équation 3z
2
−1,5z+0,5 = 0) se calculent aisément et
on peut vérifier sans peine que leurs modules sont inférieurs à 1. La condition de stabilité est donc toujours
vérifiée.
En effet :
D = b
2
− 4ac = (1,5)
2
− 6 = −3,75
p 1/2 =
1,5 ± j
√
3,75
6
⇒ |p 1 | = | p 2 | = 0,41
Toutefois, les modules de ces pôles sont plus proches de 1 que l’unique pôle du système non corrigé (qui
était égal à 0,17). On peut donc en déduire que la marge de stabilité est légèrement diminuée par l’ajout du
correcteur (elle reste néanmoins très confortable).
Construisons un tableau avec les suites d’échantillons d’entrée (échelon unité) et de sortie (tableau 13.2)
et représentons-les graphiquement (figure 13.5).
Tableau 13.2 SIMULATION DE LA SUITE D’ÉCHANTILLONS.
On note la présence d’un faible dépassement (environ 6 %) ce qui corrobore la légère perte de marge de
stabilité et une rapidité accrue puisque le temps de montée correspond à l’échantillon k = 1, soit t m = T e .
Figure 13.5 Représentation temporelle du comportement du système en boucle fermée
après correction.