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13 • Correction des systèmes échantillonnés asservis
Les choses ne sont pas si simples lorsqu’il s’agit d’asservissements échantillonnés. En effet, les formes
diverses et variées des équations de récurrence des systèmes posent parfois problème lorsqu’il s’agit de
conclure à des résultats généraux.
Certes, on peut toujours présupposer un principe d’équivalence entre les actions correctives élémentaires
en temps continu et la forme correspondante en z :
Action proportionnelle : C( p) = K ↔ C(z) = K
Action intégrale :
C( p) =
1
p
↔ C(z) =
1
1 − z −1
Action dérivée :
C( p) = p ↔ C(z) = 1 − z
−1
Toutefois, il est hors de question, ici, d’imaginer corriger intuitivement un système échantillonné en introduisant telle ou telle action corrective élémentaire (hormis l’action intégrale qui, elle, est sans trop de
surprises et qui améliore systématiquement la précision en boucle fermée). Ainsi, l’introduction du gain inférieur à 1 n’augmente pas obligatoirement la stabilité, de même que la rapidité n’est pas forcément affectée
par l’introduction d’un dérivateur.
Le paragraphe suivant, que nous avons volontairement intitulé « tentatives » d’actions correctives
simples, présente quelques exemples que nous considérerons plutôt comme des études de cas permettant
de sensibiliser le lecteur aux problèmes spécifiques liés aux actions correctives sur les systèmes échantillonnés. Nous étudierons ensuite des méthodes de synthèse de correcteurs numériques plus adaptées et
plus systématiques, telles que la technique de discrétisation des correcteurs (bien adaptée à la correction
numérique d’un système à temps continu) et les méthodes polynomiales (classiques, efficaces et somme
toute, assez faciles à mettre en œuvre).
13.2 TENTATIVES D’ACTIONS CORRECTIVES SIMPLES
13.2.1 Amélioration de la précision
Comme mentionné précédemment, peu de surprises ici. L’action intégrale améliore la précision du système,
mais, attention, elle peut bousculer les autres performances, de manière souvent imprévisible (au sens de la
perception temps continu que l’on a peut-être de cette action corrective).
a) Correcteur à action intégrale
L’étude menée au chapitre précédent à propos de la précision d’un système asservi à temps discret nous
a conduit à la conclusion suivante : la présence, dans la fonction de transfert en boucle ouverte, d’un intégrateur (i.e. d’un pôle égal à 1) assure la nullité de l’erreur de position, c’est-à-dire la précision statique
parfaite. Si ce pôle est au moins double (s’il y a au moins deux intégrateurs dans la chaîne directe), l’erreur
de vitesse est nulle, autrement dit la précision dynamique parfaite est assurée. Par conséquent, pour améliorer simplement la précision, en boucle fermée, d’un système à temps discret, on peut choisir un correcteur
de fonction de transfert égale à :
C(z) =
K
1 − z −1
n
On choisira n = 1 si le cahier des charges impose uniquement une condition de nullité de l’erreur de
position et n = 2 si l’erreur de vitesse doit être nulle également.
13 • Correction des systèmes échantillonnés asservis
Les choses ne sont pas si simples lorsqu’il s’agit d’asservissements échantillonnés. En effet, les formes
diverses et variées des équations de récurrence des systèmes posent parfois problème lorsqu’il s’agit de
conclure à des résultats généraux.
Certes, on peut toujours présupposer un principe d’équivalence entre les actions correctives élémentaires
en temps continu et la forme correspondante en z :
Action proportionnelle : C( p) = K ↔ C(z) = K
Action intégrale :
C( p) =
1
p
↔ C(z) =
1
1 − z −1
Action dérivée :
C( p) = p ↔ C(z) = 1 − z
−1
Toutefois, il est hors de question, ici, d’imaginer corriger intuitivement un système échantillonné en introduisant telle ou telle action corrective élémentaire (hormis l’action intégrale qui, elle, est sans trop de
surprises et qui améliore systématiquement la précision en boucle fermée). Ainsi, l’introduction du gain inférieur à 1 n’augmente pas obligatoirement la stabilité, de même que la rapidité n’est pas forcément affectée
par l’introduction d’un dérivateur.
Le paragraphe suivant, que nous avons volontairement intitulé « tentatives » d’actions correctives
simples, présente quelques exemples que nous considérerons plutôt comme des études de cas permettant
de sensibiliser le lecteur aux problèmes spécifiques liés aux actions correctives sur les systèmes échantillonnés. Nous étudierons ensuite des méthodes de synthèse de correcteurs numériques plus adaptées et
plus systématiques, telles que la technique de discrétisation des correcteurs (bien adaptée à la correction
numérique d’un système à temps continu) et les méthodes polynomiales (classiques, efficaces et somme
toute, assez faciles à mettre en œuvre).
13.2 TENTATIVES D’ACTIONS CORRECTIVES SIMPLES
13.2.1 Amélioration de la précision
Comme mentionné précédemment, peu de surprises ici. L’action intégrale améliore la précision du système,
mais, attention, elle peut bousculer les autres performances, de manière souvent imprévisible (au sens de la
perception temps continu que l’on a peut-être de cette action corrective).
a) Correcteur à action intégrale
L’étude menée au chapitre précédent à propos de la précision d’un système asservi à temps discret nous
a conduit à la conclusion suivante : la présence, dans la fonction de transfert en boucle ouverte, d’un intégrateur (i.e. d’un pôle égal à 1) assure la nullité de l’erreur de position, c’est-à-dire la précision statique
parfaite. Si ce pôle est au moins double (s’il y a au moins deux intégrateurs dans la chaîne directe), l’erreur
de vitesse est nulle, autrement dit la précision dynamique parfaite est assurée. Par conséquent, pour améliorer simplement la précision, en boucle fermée, d’un système à temps discret, on peut choisir un correcteur
de fonction de transfert égale à :
C(z) =
K
1 − z −1
n
On choisira n = 1 si le cahier des charges impose uniquement une condition de nullité de l’erreur de
position et n = 2 si l’erreur de vitesse doit être nulle également.