Exercices
15
Les équations électriques du système sont :
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
e(t) − s(t) = Ri(t)
i(t) = C
ds
dt
En combinant ces deux équations, on obtient :
RC
ds
dt
+ s(t) = e(t)
Nous sommes donc en présence d’un système du premier ordre dont la fonction de transfert s’obtient immédiatement :
G( p) =
1
RCp + 1
Par ailleurs,
e(t) = 3t
⇒
E( p) =
3
p 2
d’où :
S( p) =
3
p 2 (RCp + 1)
D’après la table de transformées de Laplace, on a :
S( p) =
1
p 2 (1 + tp)
→
s(t) = t
e
−
t
t +
t
t
− 1
u(t)
d’où on tire immédiatement :
S( p) =
3
p 2 (1 + RCp)
⇒ s(t) = 3RC
e
−
t
RC +
t
RC
− 1
u(t)
EXERCICES
1.1 Calcul direct de la transformée de Laplace d’un signal sinusoïdal
On considère la fonction s(t) définie par :
s(t) = 0 pour t < 0,
s(t) = sin vt pour t 0.
Déterminer l’expression de S( p) en utilisant directement la définition de la transformation de Laplace.
1.2 Calcul de la transformée de Laplace d’une impulsion réelle
On considère une impulsion s(t) de largeur T et de hauteur A (figure 1.9).
s(t) = 0 pour t < 0 et pour t > T,
s(t) = A pour 0 < t < T.
Calculer l’expression S( p) de la transformée de Laplace de ce signal.