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1 • Modélisation des systèmes linéaires. Notion de fonction de transfert
Identifions :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
A + B + C = 0
4A + B + 3C = 0
3A = 2
⇒
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
A =
2
3
B =
1
3
C = −1
d’où :
S( p) =
2
3p
+
1
3( p + 3)
−
1
p + 1
= S 1 ( p) + S 2 ( p) + S 3 ( p)
Compte tenu de la linéarité de la transformation de Laplace, on aura évidemment : s(t) = s 1 (t) + s 2 (t) + s 3 (t),
chaque s i (t) étant l’original de S i ( p).
La table de transformées de Laplace nous donne, sans calcul :
2
3p
→
2
3
u(t)
1
3( p + 3)
→
1
3
e
−3t u(t)
−
1
p + 1
→ −e
−t u(t)
Au final :
s(t) =
2
3
+
1
3
e
−3t
− e
−t
· u(t)
➤ Résolution avec Mathematica
Avec un logiciel de calcul formel, la détermination de s(t) est immédiate. Avec Mathematica, par exemple,
on écrira la commande :
InverseLaplaceTransform
2/(p(p
2 + 4p + 3))
qui nous affiche immédiatement le résultat :
2
3
+
1
3
e
−3t
− e
−t
Remarque : Les expressions temporelles fournies par les tables ne sont valables que pour t > 0 ; ces
fonctions sont nulles pour t < 0. La présence de u(t) dans ces expressions suffit à nous le rappeler.
Parfois, par abus d’écriture, on peut omettre u(t) à condition de ne pas perdre de vue que l’expression
n’est valable que pour t > 0 et que toutes les fonctions que nous utilisons sont nulles pour t < 0. Il faut
noter que le logiciel Mathematica ne mentionne pas la présence de u(t).
b) Étude de la réponse d’un circuit RC à une entrée en rampe
Considérons le circuit RC présenté sur la figure 1.8. Le signal d’entrée injecté est e(t) = 3t et la sortie
correspond à s(t) dont on cherche l’expression.
Figure 1.8 Circuit RC.
Considérons le courant i(t) qui circule à la fois dans R et dans le condensateur C.