1.7 Résolution d’un problème à l’aide de la fonction de transfert
13
Remarque : Un rapide coup d’œil sur la table de transformées de Laplace fournie en annexe A nous
montre que la plupart des transformées des signaux usuels se présentent sous la forme d’une fraction
rationnelle simple de polynômes de la variable p. La fonction de transfert se présentant toujours sous
la forme d’une fraction rationnelle, il est clair qu’il en sera de même pour la transformée de Laplace
du signal de sortie, qui ne sera rien d’autre que le produit de deux fractions rationnelles. En décomposant la fraction rationnelle S(p) en éléments simples que l’on retrouvera facilement dans la table
et en utilisant la propriété de linéarité de la transformation, on calculera aisément l’expression de la
sortie s(t).
1.7.2 Exemples
a) Système du second ordre excité par un échelon unitaire
Considérons un système régi par l’équation différentielle suivante :
d
2 s
dt 2 + 4
ds
dt
+ 3s(t) = 2e(t)
On injecte dans ce système un signal d’entrée e(t) correspondant à un échelon. Soit e(t) = u(t). On cherche
à identifier l’expression du signal de sortie s(t).
Le calcul de la fonction de transfert ne pose aucun problème ; on applique la transformée de Laplace
aux deux membres de l’équation différentielle :
p
2 S( p) + 4pS( p) + 3S( p) = 2E( p)
S( p)
p
2 + 4p + 3
= 2E( p)
G( p) =
S( p)
E( p)
=
2
p 2 + 4p + 3
Remarque : Avec un peu d’habitude, l’écriture de la fonction de transfert deviendra immédiate et ne
nécessitera plus l’application stricte de la transformation de Laplace aux deux membres de l’équation
différentielle. En effet, les coefficients de l’équation différentielle se retrouvent dans le même ordre
dans les deux polynômes de la fraction rationnelle G(p).
Nous savons par ailleurs que E( p) =
1
p
(échelon unitaire).
On en déduit donc :
S( p) =
2
p
p 2 + 4p + 3
➤ Résolution classique manuelle
En remarquant que S( p) =
2
p
p 2 + 4p + 3
=
2
p (p + 3) (p + 1)
, on peut envisager la décomposition de
S( p) en éléments simples :
S( p) =
2
p (p + 3) (p + 1)
=
A
p
+
B
p + 3
+
C
p + 1
S( p) =
A (p + 3) (p + 1) + Bp (p + 1) + Cp (p + 3)
p (p + 3) (p + 1)
S( p) =
(A + B + C) p
2 + (4A + B + 3C) p + 3A
p (p + 3) (p + 1)
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Remarque : Un rapide coup d’œil sur la table de transformées de Laplace fournie en annexe A nous
montre que la plupart des transformées des signaux usuels se présentent sous la forme d’une fraction
rationnelle simple de polynômes de la variable p. La fonction de transfert se présentant toujours sous
la forme d’une fraction rationnelle, il est clair qu’il en sera de même pour la transformée de Laplace
du signal de sortie, qui ne sera rien d’autre que le produit de deux fractions rationnelles. En décomposant la fraction rationnelle S(p) en éléments simples que l’on retrouvera facilement dans la table
et en utilisant la propriété de linéarité de la transformation, on calculera aisément l’expression de la
sortie s(t).
1.7.2 Exemples
a) Système du second ordre excité par un échelon unitaire
Considérons un système régi par l’équation différentielle suivante :
d
2 s
dt 2 + 4
ds
dt
+ 3s(t) = 2e(t)
On injecte dans ce système un signal d’entrée e(t) correspondant à un échelon. Soit e(t) = u(t). On cherche
à identifier l’expression du signal de sortie s(t).
Le calcul de la fonction de transfert ne pose aucun problème ; on applique la transformée de Laplace
aux deux membres de l’équation différentielle :
p
2 S( p) + 4pS( p) + 3S( p) = 2E( p)
S( p)
p
2 + 4p + 3
= 2E( p)
G( p) =
S( p)
E( p)
=
2
p 2 + 4p + 3
Remarque : Avec un peu d’habitude, l’écriture de la fonction de transfert deviendra immédiate et ne
nécessitera plus l’application stricte de la transformation de Laplace aux deux membres de l’équation
différentielle. En effet, les coefficients de l’équation différentielle se retrouvent dans le même ordre
dans les deux polynômes de la fraction rationnelle G(p).
Nous savons par ailleurs que E( p) =
1
p
(échelon unitaire).
On en déduit donc :
S( p) =
2
p
p 2 + 4p + 3
➤ Résolution classique manuelle
En remarquant que S( p) =
2
p
p 2 + 4p + 3
=
2
p (p + 3) (p + 1)
, on peut envisager la décomposition de
S( p) en éléments simples :
S( p) =
2
p (p + 3) (p + 1)
=
A
p
+
B
p + 3
+
C
p + 1
S( p) =
A (p + 3) (p + 1) + Bp (p + 1) + Cp (p + 3)
p (p + 3) (p + 1)
S( p) =
(A + B + C) p
2 + (4A + B + 3C) p + 3A
p (p + 3) (p + 1)