12
1 • Modélisation des systèmes linéaires. Notion de fonction de transfert
1.6.2 Mise en cascade de deux systèmes
Sur le schéma de la figure 1.7, nous avons placé deux systèmes en cascade, respectivement de fonction de
transfert G 1 ( p) et G 2 ( p).
Figure 1.7 Mise en cascade de deux systèmes.
À la condition expresse que la mise en cascade ne perturbe pas le fonctionnement du système situé en
amont, la fonction de transfert globale du système composé des deux éléments a pour expression :
G( p) = G 1 ( p)G 2 ( p)
Il convient donc d’être particulièrement vigilant avant d’utiliser cette propriété, notamment pour les systèmes électriques qui, en règle général, sont affectés par la présence d’une charge à leur sortie.
1.6.3 Original d’une fonction de transfert
Bien qu’une fonction de transfert G( p) ne soit pas, à proprement parler, la transformée de Laplace d’un
signal, on peut calculer sa transformée inverse g(t) que l’on appelle l’original de la fonction de transfert.
Le principal intérêt de ce concept réside dans le fait que si on injecte une impulsion de Dirac dans un
système de fonction de transfert G( p), le signal de sortie s(t) sera égal à g(t).
En effet, si E( p) = 1, on a :
S( p) = G( p)
La réponse impulsionnelle d’un système est donc l’original de sa fonction de transfert. Cette propriété (bien
que dans la réalité il soit impossible de construire une impulsion de Dirac parfaite), joue un rôle important
dans l’identification des systèmes.
1.7
RÉSOLUTION D’UN PROBLÈME À L’AIDE DE LA FONCTION
DE TRANSFERT
1.7.1 Principe
La première utilisation intéressante du modèle Laplacien réside dans la résolution systématique de problèmes physiques dans lesquels on possède un système linéaire quelconque régi par une équation différentielle clairement identifiée. On injecte à l’entrée de ce système un signal donné et on souhaite déterminer
quel est le signal de sortie.
La connaissance de la fonction de transfert du système (qui s’écrit immédiatement à partir de l’équation différentielle) fournit évidemment la relation entre S( p) et E( p) c’est-à-dire entre les transformées de
Laplace respectives de la sortie et de l’entrée du système :
S( p) = G( p)E( p)
Il suffit donc de calculer ou de déterminer à partir des tables, la transformée de Laplace de e(t), puis d’effectuer le calcul de S(p) puis, enfin, toujours à partir des tables, de déterminer l’original de S(p).
1 • Modélisation des systèmes linéaires. Notion de fonction de transfert
1.6.2 Mise en cascade de deux systèmes
Sur le schéma de la figure 1.7, nous avons placé deux systèmes en cascade, respectivement de fonction de
transfert G 1 ( p) et G 2 ( p).
Figure 1.7 Mise en cascade de deux systèmes.
À la condition expresse que la mise en cascade ne perturbe pas le fonctionnement du système situé en
amont, la fonction de transfert globale du système composé des deux éléments a pour expression :
G( p) = G 1 ( p)G 2 ( p)
Il convient donc d’être particulièrement vigilant avant d’utiliser cette propriété, notamment pour les systèmes électriques qui, en règle général, sont affectés par la présence d’une charge à leur sortie.
1.6.3 Original d’une fonction de transfert
Bien qu’une fonction de transfert G( p) ne soit pas, à proprement parler, la transformée de Laplace d’un
signal, on peut calculer sa transformée inverse g(t) que l’on appelle l’original de la fonction de transfert.
Le principal intérêt de ce concept réside dans le fait que si on injecte une impulsion de Dirac dans un
système de fonction de transfert G( p), le signal de sortie s(t) sera égal à g(t).
En effet, si E( p) = 1, on a :
S( p) = G( p)
La réponse impulsionnelle d’un système est donc l’original de sa fonction de transfert. Cette propriété (bien
que dans la réalité il soit impossible de construire une impulsion de Dirac parfaite), joue un rôle important
dans l’identification des systèmes.
1.7
RÉSOLUTION D’UN PROBLÈME À L’AIDE DE LA FONCTION
DE TRANSFERT
1.7.1 Principe
La première utilisation intéressante du modèle Laplacien réside dans la résolution systématique de problèmes physiques dans lesquels on possède un système linéaire quelconque régi par une équation différentielle clairement identifiée. On injecte à l’entrée de ce système un signal donné et on souhaite déterminer
quel est le signal de sortie.
La connaissance de la fonction de transfert du système (qui s’écrit immédiatement à partir de l’équation différentielle) fournit évidemment la relation entre S( p) et E( p) c’est-à-dire entre les transformées de
Laplace respectives de la sortie et de l’entrée du système :
S( p) = G( p)E( p)
Il suffit donc de calculer ou de déterminer à partir des tables, la transformée de Laplace de e(t), puis d’effectuer le calcul de S(p) puis, enfin, toujours à partir des tables, de déterminer l’original de S(p).