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12 • Stabilité et performances des systèmes échantillonnés asservis
Déterminons les conditions de stabilité de ce système à l’aide du critère de Routh :
1
4
5
4 K
20 − 4K
5
0
4K
0
Le système est stable si :
K < 5
Pour obtenir un dépassement de 20 % en boucle fermée, on doit avoir :
jBF = 0,45 ⇒ Dw ≈ 45
◦
Or :
Dw = p −
p
2
− arctan vc0 − arctan
vc0
4
d’où :
vc0 = 0,7 rad/s
Par conséquent :
G(vc0) =
4K
vc0
v
2
c0 + 1
v
2
c0 + 16
= 1
d’où :
K =
vc0
4
v
2
c0 + 1
v
2
c0 + 16 = 0,87
Pour obtenir un dépassement de 20 % en boucle fermée, la fonction de transfert du système A( p) doit donc être :
A( p) =
0,87
p (p + 1)
La fonction de transfert échantillonnée correspondante est :
A(z) = 0,87
0,5
z − 1
−
1 − e
−0,5
z − e −0,5
soit :
A(z) = 0,87
0,5
z − 1
−
0,4
z − 0,6
=
0,087z + 0,087
z 2 − 1,6z + 0,6
La fonction de transfert en boucle fermée est donc :
H(z) =
0,087z + 0,087
z 2 − 1,6z + 0,6 + 0,087z + 0,087
soit :
H(z) =
0,087z + 0,087
z 2 − 1,513z + 0,687
=
0,087z
−1 + 0,087z
−2
1 − 1,513z −1 + 0,687z −2
d’où l’équation de récurrence : sk = 1,513sk−1 − 0,687sk−2 + 0,087ek−1 + 0,087ek−2
Le calcul des premiers échantillons de sortie (tableau 12.8) et leur tracé (figure 12.28) permet de mettre en évidence
la valeur du dépassement qui est conforme à nos prévisions (24 % au lieu de 20 %, ce qui est somme toute honorable
compte tenu des approximations réalisées).
L’erreur statique est nulle, grâce à l’intégrateur, et le calcul des échantillons suivants montre la convergence assez rapide
vers 1 après quelques oscillations amorties.