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12 • Stabilité et performances des systèmes échantillonnés asservis
Nous savons, dans ces conditions, que :
H(z) =
KBF
1 + e
−2j BF v nBF Te −2 e
−j BF v nBF Te cos vnBFTe
1 − j
2
BF
z 2 − 2z e −j BF v nBF Te cos vnBFTe
1 − j
2
BF + e −2j BF v nBF Te
D’après l’abaque des réponses indicielles d’un système du second ordre, on a :
d = 30 % ⇒ jBF ≈ 0,35
Par ailleurs :
tm = 2,5 s ⇒ vn BF ≈
3
2,5
= 1,2 rad/s
En appliquant l’expression ci-dessus, la fonction de transfert en boucle fermée qui possédera les performances dynamiques requises, a pour expression :
H(z) =
0,29KBF
z 2 − 1,37z + 0,66
On a donc :
a = 1,37
b + K = 0,66
Or :
´p =
1 − a + b
K + 1 − a + b
= 0,2 ⇒
b − 0,37
0,29
= 0,2
d’où :
b = 0,428
et :
K = 0,232
On a, par ailleurs :
K = 0,29KBF ⇒ KBF = 0,8
Résultat tout à fait prévisible puisque l’erreur statique, en boucle fermée, doit être égale à 0,2.
En résumé, la fonction de transfert en boucle fermée correspondant au cahier des charges attendu a pour expression :
H(z) =
0,232
z 2 − 1,37z + 0,66
et elle correspond, en boucle ouverte, à la fonction :
G(z) =
0,232
z 2 − 1,37z + 0,428
En boucle fermée, l’équation de récurrence est :
sk = 1,37sk−1 + 0,66sk−2 + 0,232ek−2
Le calcul des premiers échantillons de sortie (tableau 12.7) et leur tracé (figure 12.26) permet de mettre en évidence le
temps de montée et la valeur du dépassement. Un calcul plus approfondi des échantillons suivants montre la convergence
assez rapide vers la valeur finale du signal (soit pour une entrée en échelon unité : s∞ = 1 − 0,2 = 0,8).
Le dépassement est certes légèrement plus important que prévu et le temps de montée un peu plus court, mais la
technique que nous venons d’employer prouve, malgré tout, toute son efficacité.
Tableau 12.7 CALCUL DE LA SUITE D’ÉCHANTILLONS DE SORTIE.
12 • Stabilité et performances des systèmes échantillonnés asservis
Nous savons, dans ces conditions, que :
H(z) =
KBF
1 + e
−2j BF v nBF Te −2 e
−j BF v nBF Te cos vnBFTe
1 − j
2
BF
z 2 − 2z e −j BF v nBF Te cos vnBFTe
1 − j
2
BF + e −2j BF v nBF Te
D’après l’abaque des réponses indicielles d’un système du second ordre, on a :
d = 30 % ⇒ jBF ≈ 0,35
Par ailleurs :
tm = 2,5 s ⇒ vn BF ≈
3
2,5
= 1,2 rad/s
En appliquant l’expression ci-dessus, la fonction de transfert en boucle fermée qui possédera les performances dynamiques requises, a pour expression :
H(z) =
0,29KBF
z 2 − 1,37z + 0,66
On a donc :
a = 1,37
b + K = 0,66
Or :
´p =
1 − a + b
K + 1 − a + b
= 0,2 ⇒
b − 0,37
0,29
= 0,2
d’où :
b = 0,428
et :
K = 0,232
On a, par ailleurs :
K = 0,29KBF ⇒ KBF = 0,8
Résultat tout à fait prévisible puisque l’erreur statique, en boucle fermée, doit être égale à 0,2.
En résumé, la fonction de transfert en boucle fermée correspondant au cahier des charges attendu a pour expression :
H(z) =
0,232
z 2 − 1,37z + 0,66
et elle correspond, en boucle ouverte, à la fonction :
G(z) =
0,232
z 2 − 1,37z + 0,428
En boucle fermée, l’équation de récurrence est :
sk = 1,37sk−1 + 0,66sk−2 + 0,232ek−2
Le calcul des premiers échantillons de sortie (tableau 12.7) et leur tracé (figure 12.26) permet de mettre en évidence le
temps de montée et la valeur du dépassement. Un calcul plus approfondi des échantillons suivants montre la convergence
assez rapide vers la valeur finale du signal (soit pour une entrée en échelon unité : s∞ = 1 − 0,2 = 0,8).
Le dépassement est certes légèrement plus important que prévu et le temps de montée un peu plus court, mais la
technique que nous venons d’employer prouve, malgré tout, toute son efficacité.
Tableau 12.7 CALCUL DE LA SUITE D’ÉCHANTILLONS DE SORTIE.