Solutions des exercices
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On a ensuite :
H2(z) =
K (z + 1)
2
143z 2 − 194z + 63 + K (z + 1)
2
soit :
H2(z) =
K (z + 1)
2
(143 + K) z 2 − (194 − 2K) z + 63 + K
Le dénominateur de la fonction de transfert est :
D2(z) = (143 + K) z
2 − (194 − 2K) z + 63 + K
D’après le critère de Jury, le système est stable si et seulement si toutes les conditions suivantes sont respectées :
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
D(1) > 0
D(−1) > 0
143 + K > 63 + K
⇒
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
12 + 4K > 0
400 > 0
143 > 63
Comme K > 0, le système est inconditionnellement stable.
Pour finir :
H3(z) =
0,081K
3z 2 − 4,11z + 1,35 + 0,081K
Le dénominateur de la fonction de transfert est :
D3(z) = 3z
2 − 4,11z + 1,35 + 0,081K
D’après le critère de Jury, le système est stable si et seulement si toutes les conditions suivantes sont respectées :
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
D(1) > 0
D(−1) > 0
3 > 1,35 + 0,081K
⇒
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
0,24 + 0,081K > 0
8,46 + 0,081K > 0
K < 20,4
Comme K > 0, la condition de stabilité se résume à : K < 20,4.
Conclusion : les équivalents à la dérivation et à l’intégration ne permettent pas toujours de rendre compte d’une possible
instabilité d’un système échantillonné censé être équivalent à un système à temps continu qui, lui, est inconditionnellement stable.
12.7 Avant de calculer la fonction de transfert en boucle fermée, déterminons tout de suite la condition sur les paramètres du système de manière à obtenir l’erreur statique attendue :
´p = lim
z→1
1
1 + G(z)
=
1
lim
z→1
1 +
K
z 2 − az + b
=
1 − a + b
K + 1 − a + b
On doit donc avoir :
´p =
1 − a + b
K + 1 − a + b
= 0,2
Calculons à présent la fonction de transfert du système en boucle fermée :
H(z) =
K
z 2 − az + b + K
Le comportement souhaité en boucle fermée est comparable à celui d’un système du second ordre en régime oscillatoire
amorti.