268
12 • Stabilité et performances des systèmes échantillonnés asservis
soit :
50
1 − e
−10Te
< 10 + 10 e
−10Te
d’où :
e
−10Te >
2
3
Finalement :
Te < −
1
10
ln
2
3
⇒ Te < 0,04 s
Conclusion : le choix d’un critère de stabilité concernant le gain statique impose une condition sur la période d’échantillonnage.
12.6 Calculons la fonction de transfert équivalente en z du système en boucle ouverte, à partir de l’équivalent à la
dérivation :
G1(z) =
K
z − 1
0,2z
+ 1
z − 1
0,2z
+ 3
=
0,04Kz
2
(1,2z − 1) (1,6z − 1)
soit encore :
G1(z) =
0,04Kz
2
1,92z 2 − 2,8z + 1
En utilisant l’équivalent à l’intégration, on obtient :
G2(z) =
K
10z − 10
z + 1
+ 1
10z − 10
z + 1
+ 3
=
K (z + 1)
2
(11z − 9) (13z − 7)
soit encore :
G2(z) =
K (z + 1)
2
143z 2 − 194z + 63
Quant à la table des équivalents fournie en annexe D, elle nous donne :
G3(z) =
K
1 − e
−Te
1 − e
−3Te
3 (z − e −Te )
z − e −3Te
=
0,081K
3 (z − 0,82) (z − 0,55)
soit encore :
G3(z) =
0,081K
3z 2 − 4,11z + 1,35
Calculons à présent les trois fonctions de transfert en boucle fermée et déterminons, pour chacune d’entre elles, les
conditions de stabilité.
Tout d’abord :
H1(z) =
0,04Kz
2
(1,92 + 0,04K) z 2 − 2,8z + 1
Le dénominateur de la fonction de transfert est :
D1(z) = (1,92 + 0,04K) z
2 − 2,8z + 1
D’après le critère de Jury, le système est stable si et seulement si toutes les conditions suivantes sont respectées :
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
D(1) > 0
D(−1) > 0
1,92 + 0,04K > 1
⇒
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
0,12 + 0,04K > 0
5,72 + 0,04K > 0
K > −23
Comme K > 0, le système est inconditionnellement stable.