Solutions des exercices
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12.5 Calculons la fonction de transfert équivalente en z du système en boucle fermée :
On a :
G( p) =
K
p + 10
→ G(z) =
K
1 − e
−10Te
10
z − e −10Te
Soit en boucle fermée :
H(z) =
G(z)
1 + G(z)
=
K
1 − e
−10Te
10
z − e −10Te
+ K
1 − e −10Te
=
K
1 − e
−10Te
10z − 10 e −10Te +K
1 − e −10Te
Ce système est stable si et seulement si l’unique pôle de cette fonction de transfert en boucle fermée possède un module
inférieur à 1.
Soit :
10 e
−10Te +K
e
−10Te −1
10
< 1
Remarquons tout d’abord que :
e
−10Te −1
< 0, ∀ Te > 0
Si :
10 e
−10Te +K
e
−10Te −1
> 0 ⇔ K <
10 e
−10Te
1 − e −10Te
on a alors :
10 e
−10Te +K
e
−10Te −1
< 10
d’où :
K >
10 − 10 e
−10Te
e −10Te −1
⇒ K > −10
qui est toujours vrai, donc K <
10 e
−10Te
1 − e −10Te est une condition suffisante de stabilité.
Si au contraire :
10 e
−10Te +K
e
−10Te −1
< 0 ⇔ K >
10 e
−10Te
1 − e −10Te
on a alors :
−10 e
−10Te −K
e
−10Te −1
< 10
d’où :
K <
10 + 10 e
−10Te
1 − e −10Te
Cette valeur étant supérieure à celle trouvée précédemment, on en déduit, en résumant les deux cas, la condition nécessaire et suffisante de stabilité :
K <
10 + 10 e
−10Te
1 − e −10Te
Ce seuil de stabilité dépend de la valeur de la période d’échantillonnage.
Pour Te = 1 s, on a :
K < 10
Pour Te = 0,1 s, on a :
K < 21,6
Pour Te = 0,02 s, on a :
K < 100
Conclusion : le seuil de stabilité est d’autant plus important que la période d’échantillonnage est faible.
Réglons à présent le gain sur K = 50. La condition de stabilité s’exprime par :
50 <
10 + 10 e
−10Te
1 − e −10Te