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12 • Stabilité et performances des systèmes échantillonnés asservis
Figure 12.25 Représentation temporelle de la sortie du système.
Le calcul des premiers échantillons de sortie (tableau 12.6) permet de mettre en évidence le temps de montée et la
valeur du dépassement. Un calcul plus approfondi des échantillons suivants montre la convergence très lente vers la
valeur finale du signal (soit pour une entrée en échelon unité : s∞ = 1 − 0,11 = 0,89).
Le temps de montée se situe entre le troisième et le quatrième échantillon, soit :
tm ≈ 0,4 s
Par ailleurs :
dep ≈ 70 %
Ce qui correspond à un facteur d’amortissement, en boucle fermée égal à :
jBF ≈ 0,1
Tableau 12.6 CALCUL DE LA SUITE D’ÉCHANTILLONS DE SORTIE.
En traçant cette suite d’échantillons sur le même graphe que pour le cas K = 1 (figure 12.25), les conséquences des deux
réglages différents sont facilement observables. La limitation du gain se traduit par un amortissement plus important
(un dépassement plus faible) et un temps de montée légèrement plus grand. Le système est donc a priori plus stable
et moins rapide. En revanche, le choix d’un gain plus important (assez proche du seuil d’instabilité) nous donne un
dépassement plus important (système moins amorti) et un temps de montée plus faible. Cette rapidité est toute relative
car c’est pour K = 1 que le temps de réponse est plus faible.
➤ Résolution avec Mathematica
Pour tracer la suite d’échantillons, on écrira, suivant les cas (K = 1 ou K = 2) :
SZ = 0,16z/
z
2 − 1,6z
−1 + 0,8
(z − 1)
SK = InverseZTransform [SZ, z, k]
DiscretePlot
SK, {k, 1,8}
ou bien :
SZ = 0,32z/
z
2 − 1,6z
−1 + 0,96
(z − 1)
SK = InverseZTransform [SZ, z, k]
DiscretePlot
SK, {k, 1,8}