Solutions des exercices
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12.4 Calculons la fonction de transfert du système en boucle fermée :
H(z) =
G(z)
1 + G(z)
=
0,16K
(z − 0,8)
2 + 0,16K
=
0,16K
z 2 − 1,6z + 0,64 + 0,16K
Le dénominateur de la fonction de transfert est :
D(z) = z
2 − 1,6z + 0,64 + 0,16K
D’après le critère de Jury, le système est stable si et seulement si toutes les conditions suivantes sont respectées :
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
D(1) > 0
D(−1) > 0
1 > 0,64 + 0,16K
⇒
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
0,04 + 0,16K > 0
3,24 + 0,16K > 0
K < 2,25
La condition de stabilité se résume donc à : K < 2,25.
En choisissant K = 1, on a :
H(z) =
0,16
z 2 − 1,6z + 0,8
d’où :
sk = 0,16ek−2 + 1,6sk−1 − 0,8sk−2
L’erreur de position peut être facilement calculée :
´p = lim
z→1
1
1 + G(z)
=
1
lim
z→1
1 +
0,16
(z − 0,8)
2
= 0,2
Le calcul des premiers échantillons de sortie (tableau 12.5) et leur tracé (figure 12.25) permet de mettre en évidence le
temps de montée et la valeur du dépassement. Un calcul plus approfondi des échantillons suivants montre la convergence
assez rapide vers la valeur finale du signal (soit pour une entrée en échelon unité : s∞ = 1 − 0,2 = 0,8).
Le temps de montée se situe entre le cinquième et le sixième échantillon, soit :
tm ≈ 0,6 s
Par ailleurs :
dep ≈ 20 %
ce qui correspond à un facteur d’amortissement, en boucle fermée égal à :
jBF ≈ 0,45
Tableau 12.5 CALCUL DE LA SUITE D’ÉCHANTILLONS DE SORTIE.
En choisissant K = 2, on a :
H(z) =
0,32
z 2 − 1,6z + 0,96
d’où :
sk = 0,32ek−2 + 1,6sk−1 − 0,96sk−2
L’erreur de position peut être facilement calculée :
´p = lim
z→1
1
1 + G(z)
=
1
lim
z→1
1 +
0,32
(z − 0,8)
2
= 0,11