Solutions des exercices
263
Pour 0 < K < 0,16, on a :
0,29 < ´p < 1
L’erreur minimale que l’on puisse obtenir est donc de 29 % (pour la valeur de K située au voisinage du seuil d’instabilité). Cette valeur est d’autant plus inadmissible qu’il nous faudra sans aucun doute choisir une valeur de gain largement
inférieure à 0,16, donc concéder une erreur stratique encore plus grande).
On introduit à présent un intégrateur dans la chaîne directe. La nouvelle fonction de transfert en boucle ouverte est
donc :
G(z) =
K
1 − z −1
(z − 0,6)
3
=
Kz
(z − 1) (z − 0,6)
3
Soit, en boucle fermée :
H(z) =
G(z)
1 + G(z)
=
K
(z − 1) (z − 0,6)
3 + K
ou encore :
H(z) =
K
z 4 − 2,8z 3 + 2,88z 2 − 1,29z + K + 0,21
Le dénominateur de cette fonction de transfert est :
D(z) = z
4 − 2,8z
3 + 2,88z
2 − 1,29z + K + 0,21
Établissons la table de Jury :
1
−2,8
2 ,88
−1,29
K + 0,21
K + 0,21
−1,29
2,88
−2,8
1
1 − (K + 0,21)
2
−2,53 + 1,29K
2,88K + 2,276
−0,702 + 2,8K
−0,702 + 2,8K
2,88K + 2,276
−2,53 + 1,29K
1 − (K + 0,21)
2
A(K)
B(K)
C(K)
avec :
A(K) =
1 − (K + 0,21)
2
2 − [2,8K − 0,702]
2
et :
C(K) =
1 − (K + 0,21)
2
[2,88K + 2,276] − [2,8K − 0,702] [1,29K − 2,53]
D’après le critère de Jury, le système est stable si et seulement si toutes les conditions suivantes sont respectées :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
D(1) > 0
D(−1) > 0
1 > K + 0,21
1 − (K + 0,21)
2
> |2,8K − 0,702|
|A(K)| > |C(K)|
⇒
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
K > 0
8,18 + K > 0
K < 0,79
1 − (K + 0,21)
2
> |2,8K − 0,702|
|A(K)| > |C(K)|
Comme K > 0, les trois premières conditions se résument à K < 0,79. Afin d’étudier d’un peu plus près la dernière
condition :
1 − (K + 0,21)
2
> |2,8K − 0,702|
traçons sur un même diagramme les variations de P(K) =
1 − (K + 0,21)
2
et de Q(K) = |2,8K − 0,702| pour K
variant de 0 à 0,79 (figure 12.23).