258
12 • Stabilité et performances des systèmes échantillonnés asservis
12.7 Synthèse d’une fonction de transfert en temps discret
On considére un système échantillonné à une période T e = 0,5 s, de fonction de transfert en boucle ouverte
G(z) telle que :
G(z) =
K
z 2 − az + b
Déterminer les valeurs de K, a et b de telle sorte que ce système, placé dans une boucle à retour unitaire,
soit caractérisé en boucle fermée, par une erreur de position égale à 20 %, un temps de montée t m = 2,5 s
et un dépassement de 30 %.
Déterminer alors l’équation de récurrence du système et vérifier les performances à l’aide du calcul et du
tracé des premiers échantillons de sortie.
12.8 Performances d’un système continu commandé en temps discret
Un système à temps continu de fonction de transfert A( p) est placé dans une boucle de régulation à temps
discret à retour unitaire et commandé numériquement. La fréquence d’échantillonnage T e est égale à 0,5 s.
On donne :
A( p) =
K
p (p + 1)
On souhaite régler K pour limiter le dépassement à 20 % en boucle fermée.
Déterminer le schéma équivalent en temps continu de cet asservissement et en déduire la condition de
stabilité en boucle fermée.
Déterminer la valeur de K qui assure un dépassement de 20 % en boucle fermée et en déduire la fonction
de transfert échantillonnée correspondante.
Déterminer alors l’équation de récurrence du système et vérifier la valeur du dépassement à l’aide du calcul
et du tracé des premiers échantillons de sortie.
SOLUTIONS
12.1 Calculons la fonction de transfert du système en boucle fermée :
H(z) =
G(z)
1 + G(z)
=
K
(z − 0,4) (z − 0,8) + K
Le dénominateur de la fonction de transfert est :
D(z) = z
2 − 1,2z + 0,32 + K
D’après le critère de Jury, le système est stable si et seulement si toutes les conditions suivantes sont respectées :
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
D(1) > 0
D(−1) > 0
1 > 0,32 + K
⇒
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
0,12 + K > 0
2,52 + K > 0
K < 0,68
La condition de stabilité se résume donc à : K < 0,68.
12 • Stabilité et performances des systèmes échantillonnés asservis
12.7 Synthèse d’une fonction de transfert en temps discret
On considére un système échantillonné à une période T e = 0,5 s, de fonction de transfert en boucle ouverte
G(z) telle que :
G(z) =
K
z 2 − az + b
Déterminer les valeurs de K, a et b de telle sorte que ce système, placé dans une boucle à retour unitaire,
soit caractérisé en boucle fermée, par une erreur de position égale à 20 %, un temps de montée t m = 2,5 s
et un dépassement de 30 %.
Déterminer alors l’équation de récurrence du système et vérifier les performances à l’aide du calcul et du
tracé des premiers échantillons de sortie.
12.8 Performances d’un système continu commandé en temps discret
Un système à temps continu de fonction de transfert A( p) est placé dans une boucle de régulation à temps
discret à retour unitaire et commandé numériquement. La fréquence d’échantillonnage T e est égale à 0,5 s.
On donne :
A( p) =
K
p (p + 1)
On souhaite régler K pour limiter le dépassement à 20 % en boucle fermée.
Déterminer le schéma équivalent en temps continu de cet asservissement et en déduire la condition de
stabilité en boucle fermée.
Déterminer la valeur de K qui assure un dépassement de 20 % en boucle fermée et en déduire la fonction
de transfert échantillonnée correspondante.
Déterminer alors l’équation de récurrence du système et vérifier la valeur du dépassement à l’aide du calcul
et du tracé des premiers échantillons de sortie.
SOLUTIONS
12.1 Calculons la fonction de transfert du système en boucle fermée :
H(z) =
G(z)
1 + G(z)
=
K
(z − 0,4) (z − 0,8) + K
Le dénominateur de la fonction de transfert est :
D(z) = z
2 − 1,2z + 0,32 + K
D’après le critère de Jury, le système est stable si et seulement si toutes les conditions suivantes sont respectées :
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
D(1) > 0
D(−1) > 0
1 > 0,32 + K
⇒
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
0,12 + K > 0
2,52 + K > 0
K < 0,68
La condition de stabilité se résume donc à : K < 0,68.