Exercices
257
Calculer la fonction de transfert en boucle fermée et étudier les conditions de stabilité de ce système en
boucle fermée.
Calculer l’erreur statique en fonction de K et déterminer les valeurs minimales et maximales de cette erreur
statique.
On introduit à présent un intégrateur dans la chaîne directe. Calculer la nouvelle fonction de transfert en
boucle fermée et montrer que, dans ces conditions, il sera pratiquement impossible de régler K pour assurer
la stabilité du système.
12.4 Mesure des performances dynamiques d’un système échantillonné
Un système échantillonné de fonction de transfert en boucle ouverte G(z) est placé dans une boucle de
régulation à retour unitaire.
G(z) =
0,16K
(z − 0,8)
2
avec K > 0
La période d’échantillonnage est : T e = 0,1 s.
Calculer la fonction de transfert en boucle fermée et déterminer la condition de stabilité du système en
boucle fermée.
Le gain étant réglé sur K = 1, déterminer, en boucle fermée : l’erreur de position, l’équation de récurrence,
et calculer, puis tracer, les premiers éléments de la suite des échantillons de sortie lorsque l’entrée est un
échelon unitaire. En déduire la valeur du temps de montée et du coefficient d’amortissement en boucle
fermée.
Répondre aux mêmes questions en réglant le gain sur K = 2. Conclure.
12.5 Influence du choix de la fréquence d’échantillonnage sur la stabilité
Un système à temps continu de fonction de transfert G( p) est placé dans une boucle de régulation à temps
discret à retour unitaire et commandé numériquement. La fréquence d’échantillonnage T e est réglable.
On donne :
G( p) =
K
p + 10
Déterminer, en fonction de K les conditions de stabilité du système échantillonné en boucle fermée. Comparer les conditions de stabilité du système pour T e = 1 s, T e = 0,1 s et T e = 0,02 s.
La valeur du gain étant réglée sur K = 50, déterminer la condition sur T e pour que le système soit stable.
12.6 Étude comparée de la stabilité sur plusieurs modèles à temps discret
On considère un système à temps continu régi, en boucle ouverte, par la fonction de transfert suivante :
G( p) =
K
(p + 1) (p + 3)
avec K > 0 réglable
Calculer successivement, en boucle ouverte, les équivalents en z, à la dérivation et à l’intégration de ce
système, respectivement G 1 (z) et G 2 (z). Rechercher, dans la table fournie en annexe, l’équivalent de ce
système, soit G 3 (z). On choisira une fréquence d’échantillonnage T e = 0,2 s.
Calculer les trois fonctions de transfert échantillonnés en boucle fermée et déterminer, pour chacune d’elles,
les conditions de stabilité sur K. Comparer les résultats et conclure.
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Calculer la fonction de transfert en boucle fermée et étudier les conditions de stabilité de ce système en
boucle fermée.
Calculer l’erreur statique en fonction de K et déterminer les valeurs minimales et maximales de cette erreur
statique.
On introduit à présent un intégrateur dans la chaîne directe. Calculer la nouvelle fonction de transfert en
boucle fermée et montrer que, dans ces conditions, il sera pratiquement impossible de régler K pour assurer
la stabilité du système.
12.4 Mesure des performances dynamiques d’un système échantillonné
Un système échantillonné de fonction de transfert en boucle ouverte G(z) est placé dans une boucle de
régulation à retour unitaire.
G(z) =
0,16K
(z − 0,8)
2
avec K > 0
La période d’échantillonnage est : T e = 0,1 s.
Calculer la fonction de transfert en boucle fermée et déterminer la condition de stabilité du système en
boucle fermée.
Le gain étant réglé sur K = 1, déterminer, en boucle fermée : l’erreur de position, l’équation de récurrence,
et calculer, puis tracer, les premiers éléments de la suite des échantillons de sortie lorsque l’entrée est un
échelon unitaire. En déduire la valeur du temps de montée et du coefficient d’amortissement en boucle
fermée.
Répondre aux mêmes questions en réglant le gain sur K = 2. Conclure.
12.5 Influence du choix de la fréquence d’échantillonnage sur la stabilité
Un système à temps continu de fonction de transfert G( p) est placé dans une boucle de régulation à temps
discret à retour unitaire et commandé numériquement. La fréquence d’échantillonnage T e est réglable.
On donne :
G( p) =
K
p + 10
Déterminer, en fonction de K les conditions de stabilité du système échantillonné en boucle fermée. Comparer les conditions de stabilité du système pour T e = 1 s, T e = 0,1 s et T e = 0,02 s.
La valeur du gain étant réglée sur K = 50, déterminer la condition sur T e pour que le système soit stable.
12.6 Étude comparée de la stabilité sur plusieurs modèles à temps discret
On considère un système à temps continu régi, en boucle ouverte, par la fonction de transfert suivante :
G( p) =
K
(p + 1) (p + 3)
avec K > 0 réglable
Calculer successivement, en boucle ouverte, les équivalents en z, à la dérivation et à l’intégration de ce
système, respectivement G 1 (z) et G 2 (z). Rechercher, dans la table fournie en annexe, l’équivalent de ce
système, soit G 3 (z). On choisira une fréquence d’échantillonnage T e = 0,2 s.
Calculer les trois fonctions de transfert échantillonnés en boucle fermée et déterminer, pour chacune d’elles,
les conditions de stabilité sur K. Comparer les résultats et conclure.