12.5 Performances dynamiques d’un système échantillonné
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Figure 12.17 Modèle à temps discret de la boucle d’asservissement.
La fonction de transfert en boucle fermée a pour expression :
H(z) =
A(z)
1 + A(z)
=
4
1 − e
−Te
z − e −Te
+ 4
1 − e −Te
soit :
H(z) =
0,72
z − 0,1
Or :
S(z)
E(z)
=
0,72
z − 0,1
⇒ (z − 0,1) S(z) = 0,72E(z)
soit :
(z − 0,1) S(z) = 0,72E(z)
Ce qui correspond à l’équation de récurrence suivante :
s k = 0,1s k−1 + 0,72e k−1
Le système étant commandé par un échelon, la suite (e k ) est connue et cette équation nous permet de
calculer, échantillon par échantillon, les différentes valeurs de la suite (s k ) (tableau 12.1).
Tableau 12.1 SIMULATION DE LA SUITE D’ÉCHANTILLONS.
La figure 12.18 propose une représentation graphique de ces résultats. Nous y remarquons l’absence
de dépassement perceptible et pouvons y mesurer le temps de montée qui est tout à fait conforme aux
prédictions calculées à partir de notre modèle.
Nous pouvons également vérifier la valeur de l’erreur de position prévue par notre modèle :
´ p = lim
z→1
1
1 + A(z)
= lim
z→1
z − e
−Te
z − e −Te +4
1 − e −Te
soit :
´ p =
1 − 0,82
1 − 0,82 + 4 (1 − 0,82)
= 0,2 = 20 %
Ce qui est tout à fait conforme au graphe présenté.