254
12 • Stabilité et performances des systèmes échantillonnés asservis
Figure 12.16 Équivalence du système en temps continu.
Calculons la pulsation de coupure à 0 dB et la marge de phase de ce système :
G(v) =
10
√
1 + v 2
1 +
v
2
100
G(v) = 1 ⇔
1 + v
2
1 +
v
2
100
= 16 ⇔
v
4
100
+
101v
2
100
− 15 = 0
La seule solution réelle positive de cette équation est : v c0 = 3,6 rad/s
Par conséquent, en considérant les relations approchées mises en évidence au chapitre 7 à propos des
performances des systèmes à temps continu, nous pouvons en déduire une estimation du temps de montée en
boucle fermée :
t m ≈
3
v c0
≈ 0,8 s
Calculons à présent la marge de phase :
Dw = p + w (v c0 ) = p − arctan
v c0
10
− arctan v c0
soit :
Dw = 85
◦
⇒ j BF ≈ 0,85
Ce coefficient d’amortissement en boucle fermée correspond à un dépassement de 0,6 %, autrement dit, le
système devrait présenter un dépassement imperceptible.
En conclusion, nous considérerons que le système échantillonné initial possède pour performances dynamiques :
t m ≈ 0,8 s
dep ≈ 0
Cette étude a par ailleurs permis de démontrer que le dispositif était caractérisé par une marge de phase
relativement importante, montrant ainsi que le système est très stable en boucle fermée.
c) Validation des résultats obtenus
Considérons, pour valider les résultats obtenus précédemment, l’équivalent en z de la boucle d’asservissement étudiée (figure 12.17).
D’après la table d’équivalence :
A(z) =
4
1 − e
−Te
z − e −Te