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12 • Stabilité et performances des systèmes échantillonnés asservis
soit :
´ v = lim
z→1
T e (z − 1)
n
(z − 1)
(z − 1)
n + z n A(z)
= lim
z→1
T e (z − 1)
n−1
(z − 1)
n + z n A(z)
Si n = 1 :
´ v = lim
z→1
T e
[(z − 1) + z n A(z)]
=
T e
A(1)
= 0
Si n 2 :
´ v = lim
z→1
T e (z − 1)
n−1
(z − 1)
n + z n A(z)
=
T e
A(1)
lim
z→1
(z − 1)
n−1 = 0
En conclusion, la présence d’un intégrateur dans la fonction de transfert en boucle ouverte assure une erreur
de vitesse finie d’autant plus faible que la période d’échantillonnage est faible. La présence d’au moins deux
intégrateurs assure la nullité de l’erreur de vitesse.
12.5 PERFORMANCES DYNAMIQUES D’UN SYSTÈME ÉCHANTILLONNÉ
Tout comme l’étude des systèmes à temps continu nous a conduit à mettre en évidence des performances
en boucle fermée telles que rapidité et limitation du dépassement, nous allons à présent nous intéresser à
ces performances dynamiques dans le cas des systèmes à temps discret.
Nous allons à nouveau utiliser, mais cette fois-ci à propos des systèmes à temps discret, la méthode qui
consiste à assimiler le fonctionnement d’un système quelconque à celui d’un système du second ordre.
12.5.1 Fonction de transfert échantillonnée équivalente à un système
du second ordre
On considère un système à temps continu du second ordre, caractérisé en boucle ouverte, par une fonction
de transfert G( p) telle que :
G( p) =
K
p
2
v 2
n
+
2jp
v n
+ 1
Nous nous limiterons à l’étude du cas j < 1, pour mettre en évidence les paramètres liés au temps de
montée et au dépassement. Nous savons déjà (chapitre 4), que cette fonction possède dans ce cas deux
pôles complexes conjugués :
p 1 = −v n
j − j
1 − j 2
et p 2 = −v n
j + j
1 − j 2
Soit :
G( p) =
Kv
2
n
(p − p 1 ) (p − p 2 )
= Kv
2
n ·
1
(p − p 1 )
·
1
(p − p 2 )
Calculons à présent, à l’aide de la table d’équivalence fournie en annexe, la fonction de transfert en z
équivalente à G( p) :
G(z) = Kv
2
n ·
−
1
p 1
1 − e
p1Te
z − e p1Te
·
−
1
p 2
1 − e
p2Te
z − e p2Te
Comme :
p 1 p 2 = v
2
n