12.4 Précision des asservissements échantillonnés
251
Remarque : Compte tenu de la condition de stabilité, le dénominateur de cette expression ne peut être
nul.
Cette erreur de position est nulle, autrement dit le système est parfaitement précis en boucle fermée, si
a = 1, donc si la fonction de transfert en boucle ouverte G(z) possède un pôle égale à 1.
b) Calcul de l’erreur de vitesse
L’erreur de vitesse du système asservi a pour expression :
´ v = lim
z→1
⎡
⎢
⎢
⎣
T e
(z − 1)
1 +
bz
z − a
⎤
⎥
⎥
⎦
soit :
´ v = lim
z→1
T e (z − a)
(z − 1) [z(1 + b) − a]
→ ∞
L’erreur de vitesse d’un système du premier ordre placé dans une boucle d’asservissement est donc infinie,
sauf si a = 1, auquel cas :
´ v = lim
z→1
T e (z − 1)
(z − 1) [z(1 + b) − 1]
=
T e
b
c) Généralisation
La présence d’un pôle égal à 1 dans la fonction de transfert en boucle ouverte assure donc une bonne
précision statique mais n’assure pas une bonne précision dynamique. Considérons à présent un système de
fonction de transfert en boucle ouverte G(z) quelconque de la forme :
G(z) =
1
1 − z −1
n · A(z)
Un tel système possède n pôles égaux à 1. On aussi dit que la fonction de transfert en boucle ouverte est
constituée, notamment, de n intégrateurs, étant donné que la forme
1
1 − z −1 correspond à une constante
multiplicative près à l’intégration
1
p
(voir tables des équivalents en annexe D).
L’erreur de position de ce système en boucle fermée a pour expression :
´ p = lim
z→1
1
1 + G(z)
= lim
z→1
⎡
⎢
⎢
⎣
1
1 +
A(z)
1 − z −1
n
⎤
⎥
⎥
⎦ = lim
z→1
(z − 1)
n
(z − 1)
n + z n A(z)
Quelle que soit la valeur de n supérieure ou égale à 1 : ´ p = 0.
La présence d’au moins un intégrateur dans la fonction de transfert en boucle ouverte assure donc bien
la nullité de l’erreur statique.
L’erreur de vitesse du système en boucle fermée a pour expression :
´ v = lim
z→1
T e
(z − 1) [1 + G(z)]
=
T e
lim z→1
(z − 1) +
(z − 1) A(z)
1 − z −1
n