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12 • Stabilité et performances des systèmes échantillonnés asservis
Or :
´(z) = E(z) − S(z) = E(z) − G(z)´(z)
d’où :
´(z) =
E(z)
1 + G(z)
On a donc :
´ p = lim
z→1
z − 1
z
E(z)
1 + G(z)
Comme le signal d’entrée est un échelon unité, on a :
E(z) =
z
z − 1
⇒ ´ p = lim
z→1
1
1 + G(z)
On définit également l’erreur de vitesse ´ v par :
´ v = lim
k→+∞
´ k pour une entrée en rampe
On a toujours :
´ v = lim
z→1
z − 1
z
E(z)
1 + G(z)
avec cette fois :
E(z) =
T e z
(z − 1)
2
⇒ ´ v = lim
z→1
T e
(z − 1) [1 + G(z)]
12.4.2 Précision d’un système échantillonné du premier ordre
On considère un système échantillonné de fonction de transfert en boucle ouverte G(z) placé dans une
boucle à retour unitaire (figure 12.13), avec :
G(z) =
b
1 − az −1 =
bz
z − a
avec b > 0 et 0 < a 1
Nous savons déjà (paragraphe 12.2.1 – c) que le système est stable en boucle fermée si l’unique pôle de la
fonction de transfert en boucle fermée est inférieur à 1.
Soit :
a
b + 1
< 1
a) Calcul de l’erreur de position
L’erreur de position de ce système asservi a pour expression :
´ p = lim
z→1
1
1 + G(z)
= lim
z→1
⎡
⎢
⎣
1
1 +
b
1 − az −1
⎤
⎥
⎦
soit :
´ p = lim
z→1
⎡
⎢
⎣
1
1 +
bz
z − a
⎤
⎥
⎦ = lim
z→1
z − a
(b + 1) z − a
=
1 − a
b + 1 − a