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12 • Stabilité et performances des systèmes échantillonnés asservis
Remarque : Bien noter que l’on n’a pas le droit de déduire la fonction de transfert échantillonnée en
boucle fermée à partir de la fonction de transfert continue en boucle fermée.
Alors que le système en temps continu H( p) est toujours stable, le système échantillonné ne l’est pas
toujours. En effet, H(z) possède un pôle dont le module est susceptible d’être supérieur à 1.
Ce pôle a pour expression :
p 1 = K
e
−
T e
T −1
+ e
−
T e
T
Le système échantillonné sera stable si et seulement si :
K
e
−
T e
T −1
+ e
−
T e
T
< 1 ⇔
(1 + K) e
−
T e
T −K
< 1
On peut donc avoir :
(1 + K) e
−
T e
T −K < 1 ⇒ K > −1
ce qui ne nous intéresse guère,
ou bien :
K − (1 + K) e
−
T e
T < 1 ⇒ K <
1 + e
−
T e
T
1 + e
−
T e
T
Le système échantillonné peut donc être instable : pour une période d’échantillonnage donnée, il existe une
limite supérieure du gain statique qui délimite le domaine stable. Si c’est le gain statique qui est fixé, on a :
K − (1 + K) e
−
T e
T < 1 ⇒ −(1 + K) e
−
T e
T < 1 − K
soit :
e
−
T e
T >
1 − K
1 + K
⇒ −
T e
T
> ln
1 − K
1 + K
⇒ T e < T ln
1 − K
1 + K
La période d’échantillonnage doit donc être inférieure à une valeur qui dépend des paramètres du système.
Autrement dit la fréquence d’échantillonnage doit être supérieure à un certain seuil.
Remarque : Il s’agit là d’un résultat important : en automatique, la fréquence d’échantillonnage n’est
pas uniquement dictée par le théorème de Shannon (d’ailleurs il n’est pas toujours possible de connaître
a priori les spectres des signaux dans le système) mais aussi par les caractéristiques du système.
b) Choix de la fréquence d’échantillonnage
La règle traditionnellement adoptée par les automaticiens, en matière de choix de la fréquence d’échantillonnage consiste à évaluer la bande passante f pas du système asservi et de choisir une fréquence d’échantillonnage telle que :
6 f pas < f e < 25f pas
On rappelle que la bande passante est définie comme la limite supérieure de la plage de fréquences pour
lesquelles le gain est constant à 3 dB près.
12 • Stabilité et performances des systèmes échantillonnés asservis
Remarque : Bien noter que l’on n’a pas le droit de déduire la fonction de transfert échantillonnée en
boucle fermée à partir de la fonction de transfert continue en boucle fermée.
Alors que le système en temps continu H( p) est toujours stable, le système échantillonné ne l’est pas
toujours. En effet, H(z) possède un pôle dont le module est susceptible d’être supérieur à 1.
Ce pôle a pour expression :
p 1 = K
e
−
T e
T −1
+ e
−
T e
T
Le système échantillonné sera stable si et seulement si :
K
e
−
T e
T −1
+ e
−
T e
T
< 1 ⇔
(1 + K) e
−
T e
T −K
< 1
On peut donc avoir :
(1 + K) e
−
T e
T −K < 1 ⇒ K > −1
ce qui ne nous intéresse guère,
ou bien :
K − (1 + K) e
−
T e
T < 1 ⇒ K <
1 + e
−
T e
T
1 + e
−
T e
T
Le système échantillonné peut donc être instable : pour une période d’échantillonnage donnée, il existe une
limite supérieure du gain statique qui délimite le domaine stable. Si c’est le gain statique qui est fixé, on a :
K − (1 + K) e
−
T e
T < 1 ⇒ −(1 + K) e
−
T e
T < 1 − K
soit :
e
−
T e
T >
1 − K
1 + K
⇒ −
T e
T
> ln
1 − K
1 + K
⇒ T e < T ln
1 − K
1 + K
La période d’échantillonnage doit donc être inférieure à une valeur qui dépend des paramètres du système.
Autrement dit la fréquence d’échantillonnage doit être supérieure à un certain seuil.
Remarque : Il s’agit là d’un résultat important : en automatique, la fréquence d’échantillonnage n’est
pas uniquement dictée par le théorème de Shannon (d’ailleurs il n’est pas toujours possible de connaître
a priori les spectres des signaux dans le système) mais aussi par les caractéristiques du système.
b) Choix de la fréquence d’échantillonnage
La règle traditionnellement adoptée par les automaticiens, en matière de choix de la fréquence d’échantillonnage consiste à évaluer la bande passante f pas du système asservi et de choisir une fréquence d’échantillonnage telle que :
6 f pas < f e < 25f pas
On rappelle que la bande passante est définie comme la limite supérieure de la plage de fréquences pour
lesquelles le gain est constant à 3 dB près.