12.2 Stabilité des asservissements échantillonnés
245
Soit :
H(z) =
1
az 2 + bz + c
=
N(z)
D(z)
Les coefficients a, b et c sont supposés strictement positifs. Comme le système est d’ordre 2, une seule
ligne suffit (2q − 3 = 1). Le tableau se limite donc à la liste des coefficients dans l’ordre des puissances
décroissantes :
a b c
L’analyse de la table nous conduit immédiatement à la condition : a > c.
Par ailleurs, on doit avoir :
D(1) > 0 ⇒ a + b + c > 0
et :
D(−1) > 0 ⇒ a − b + c > 0
En conclusion, le système est stable si :
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
a > c
a + b + c > 0
a − b + c > 0
12.2.3 Utilisation du critère de Routh
Il est possible d’utiliser le critère de Routh pour l’étude la stabilité des systèmes échantillonnés en comparant les deux critères mathématiques utilisés en temps continu et en temps discret : pour un asservissement
en temps continu, les pôles de la fonction de transfert en boucle fermée doivent tous être situés dans le
demi-plan complexe correspondant aux parties réelles négatives. En temps discret, les pôles doivent être
situés à l’intérieur du cercle de rayon 1. Il suffit donc de transformer l’équation D(z) = 0 en utilisant une
fonction qui transforme, dans le plan complexe, le disque de rayon 1 en demi-plan correspondant aux parties
réelles négatives.
Il suffit pour cela, d’effectuer le changement de variable x =
z − 1
z + 1
et d’appliquer le critère de Routh
sur l’équation D(x) = 0 ainsi obtenue.
Remarque : Cette astuce n’est donnée qu’à titre indicatif car, hormis d’un point de vue académique,
son intérêt est somme toute, limité.
12.2.4 Influence de la fréquence d’échantillonnage sur la stabilité
a) Mise en évidence
Nous allons tenter, à partir d’un exemple simple, de montrer que la stabilité d’un système échantillonné
peut être grandement influencée par le choix de la période d’échantillonnage. Considérons un système de
fonction de transfert en boucle ouverte G( p) placé dans une boucle à retour unitaire avec :
G( p) =
K
1 + Tp
Si on se réfère à la table des équivalents Laplace – z, le système échantillonné asservi qui possédera le
même fonctionnement aura pour fonction de transfert :
G(z) =
K
1 − e
−
T e
T
z − e
−
T e
T
⇒ H(z) =
G(z)
1 + G(z)
=
K
1 − e
−
T e
T
z − e
−
T e
T +K
1 − e
−
T e
T
245
Soit :
H(z) =
1
az 2 + bz + c
=
N(z)
D(z)
Les coefficients a, b et c sont supposés strictement positifs. Comme le système est d’ordre 2, une seule
ligne suffit (2q − 3 = 1). Le tableau se limite donc à la liste des coefficients dans l’ordre des puissances
décroissantes :
a b c
L’analyse de la table nous conduit immédiatement à la condition : a > c.
Par ailleurs, on doit avoir :
D(1) > 0 ⇒ a + b + c > 0
et :
D(−1) > 0 ⇒ a − b + c > 0
En conclusion, le système est stable si :
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
a > c
a + b + c > 0
a − b + c > 0
12.2.3 Utilisation du critère de Routh
Il est possible d’utiliser le critère de Routh pour l’étude la stabilité des systèmes échantillonnés en comparant les deux critères mathématiques utilisés en temps continu et en temps discret : pour un asservissement
en temps continu, les pôles de la fonction de transfert en boucle fermée doivent tous être situés dans le
demi-plan complexe correspondant aux parties réelles négatives. En temps discret, les pôles doivent être
situés à l’intérieur du cercle de rayon 1. Il suffit donc de transformer l’équation D(z) = 0 en utilisant une
fonction qui transforme, dans le plan complexe, le disque de rayon 1 en demi-plan correspondant aux parties
réelles négatives.
Il suffit pour cela, d’effectuer le changement de variable x =
z − 1
z + 1
et d’appliquer le critère de Routh
sur l’équation D(x) = 0 ainsi obtenue.
Remarque : Cette astuce n’est donnée qu’à titre indicatif car, hormis d’un point de vue académique,
son intérêt est somme toute, limité.
12.2.4 Influence de la fréquence d’échantillonnage sur la stabilité
a) Mise en évidence
Nous allons tenter, à partir d’un exemple simple, de montrer que la stabilité d’un système échantillonné
peut être grandement influencée par le choix de la période d’échantillonnage. Considérons un système de
fonction de transfert en boucle ouverte G( p) placé dans une boucle à retour unitaire avec :
G( p) =
K
1 + Tp
Si on se réfère à la table des équivalents Laplace – z, le système échantillonné asservi qui possédera le
même fonctionnement aura pour fonction de transfert :
G(z) =
K
1 − e
−
T e
T
z − e
−
T e
T
⇒ H(z) =
G(z)
1 + G(z)
=
K
1 − e
−
T e
T
z − e
−
T e
T +K
1 − e
−
T e
T