12.2 Stabilité des asservissements échantillonnés
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Figure 12.6 Schéma d’un asservissement échantillonné à retour unitaire.
Étudions sa stabilité en boucle fermée.
H(z) =
G(z)
1 + G(z)
=
bz
z − a
1 +
bz
z − a
=
bz
(b + 1)z − a
Le système est stable en boucle fermée si l’unique pôle de cette fonction de transfert est inférieur à 1 :
a
b + 1
< 1
12.2.2 Critère algébrique de Jury
Pour les systèmes à temps continu, nous avions mis en évidence l’impossibilité, pour les systèmes d’ordre
élevé ou possédant des paramètres variables, d’utiliser le critère mathématique et c’est pour cela que le
critère de Routh avait été introduit. Il en est de même pour les systèmes échantillonnés : il existe un critère
algébrique, dit de Jury, qui permet de diagnostiquer la stabilité d’un système sans avoir à calculer ses pôles.
Il ressemble beaucoup au critère de Routh et est aussi simple à utiliser. Attention, toutefois, les calculs sont
légèrement différents.
a) Énoncé du critère
Soit H(z) la fonction de transfert en boucle fermée d’un système échantillonné asservi :
H(z) =
a 0 + a 1 z
−1 + a 2 z
−2 + · · · + a p z
− p
b 0 + b 1 z −1 + b 2 z −2 + · · · + b q z −q
En multipliant le dénominateur de cette fonction de transfert par z
q , on obtient :
H(z) =
z
q
a 0 + a 1 z
−1 + a 2 z
−2 + · · · + a p z
− p
b 0 z q + b 1 z q−1 + b 2 z q−2 + · · · + b q−2 z 2 + b q−1 z + b q
=
N(z)
D(z)
Remarque : Il faut s’arranger pour que b 0 soit positif.
À partir de l’expression D(z) du dénominateur de H(z), ainsi placé sous la forme d’un polynôme en z,
on construit un tableau similaire à celui du critère de Routh, de la manière suivante :
On place toute la suite de coefficients b j dans un tableau, sur une première ligne, dans l’ordre des
puissances de z décroissantes, puis, sur une deuxième ligne, on place les même coefficients mais en sens
inverse. On effectue ensuite un calcul pour créer une ligne supplémentaire de q − 1 valeurs c j , avec :
c j = b 0 b j − b q b q−j